Responda se é verdadeira ou falsa a afirmação.
( ) Se
é L.D., então
é L.I.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, usando conceitos de dependência e independência linear de vetores:
é L.D. significa que existe combinação não trivial
com
e
não ambos zero.
é L.I. significa que a única combinação que dá zero é a trivial
Passo 2
Suponha que
seja L.D. Então existem escalares
, não ambos zero, tais que
Mas isso já mostra que em
a combinação
a combinação
é não trivial (já que
e
não são ambos zero). Logo
também é L.D., ou seja, não pode ser L.I.
Passo 3
Como mostramos que sempre que
é dependente, o conjunto aumentado por qualquer
continua dependente, a afirmação “Se
é L.D., então
é L.I.” é falsa.
Resposta
Falsa.