Responda se é verdadeira ou falsa a afirmação.
( ) Se u, v é L.D., então u, v, w é L.I.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, usando conceitos de dependência e independência linear de vetores:
bul<=t u,v é L.D. significa que existe combinação não trivial
alpha,u+beta,v=0,
com alpha e beta não ambos zero.
bul<=t u,v,w é L.I. significa que a única combinação que dá zero é a trivial
alpha,u+beta,v+gamma,w=0implies alpha=beta=gamma=0

Passo 2

Suponha que u,v seja L.D. Então existem escalares alpha,beta, não ambos zero, tais que
alpha,u+beta,v=0
Mas isso já mostra que em
u,v,w
a combinação
alpha,u+beta,v+0cdotw=0
é não trivial (já que alpha e beta não são ambos zero). Logo u,v,w também é L.D., ou seja, não pode ser L.I.

Passo 3

Como mostramos que sempre que u,v é dependente, o conjunto aumentado por qualquer w continua dependente, a afirmação “Se u,v é L.D., então u,v,w é L.I.” é falsa.

Resposta

Falsa.

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