Mostre que:
u, v, w é L.I. Rightarrowu+2 v, v-w,-u-v+w é L.I.

Passo 1

O enunciado afirma que u,v,w é um conjunto de vetores linearmente independentes. Queremos mostrar que o novo conjunto
u+2v,,v-w,,-u-v+w
também é linearmente independente. Para isso, basta verificar que a única combinação linear que dá o vetor nulo tem coeficientes todos iguais a zero.

Passo 2

Considere uma combinação linear qualquer igual a zero:
alpha(u+2v)+beta(v-w)+gamma(-u-v+w) =0
Ao distribuir e agrupar pelos vetores u,v,w, obtemos
(alpha-gamma),u ;+;(2alpha+beta-gamma),v;+;(-beta+gamma),w =0
Como u,v,w é linearmente independente, cada coeficiente escalar deve ser zero. Logo surge o sistema
alpha-gamma=0, 2alpha+beta-gamma=0, -beta+gamma=0

Passo 3

Do primeiro e do terceiro equações do sistema vem
alpha=gamma e beta=gamma
Substituindo na segunda equação:
2gamma+gamma-gamma=0 Longrightarrow 2gamma=0 Longrightarrow gamma=0
Então alpha=0 e beta=0 também.

Passo 4

Como a combinação linear
alpha(u+2v)+beta(v-w)+gamma(-u-v+w)=0
implica alpha=beta=gamma=0, concluímos que o conjunto
u+2v,,v-w,,-u-v+w
é linearmente independente.

Resposta

u+2v,,v-w,,-u-v+w é linearmente independente.

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