Seja E=(e1, e2, e3) uma base e seja F=(f1, f2, f3) um conjunto ordenado. Temos que f1=2 e1+e3, f2=e1-e2 e f3=n cdot e1+e2-2 n cdot e3.
Para que valor(es) de n (número real) F é uma base?

Passo 1

O enunciado dá uma base E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) e o sistema ordenado F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) com
overrightarrow f1=2overrightarrow e1+overrightarrow e3, overrightarrow f2=overrightarrow e1-overrightarrow e2, overrightarrow f3=n,overrightarrow e1+overrightarrow e2-2n,overrightarrow e3
Para que F seja uma base de R^3, seus vetores devem ser linearmente independentes, o que equivale a exigir que o determinante da matriz de mudança de base seja não nulo.

Passo 2

Escrevemos a matriz A cujas colunas são as coordenadas de f1, f2, f3 na base E:
A = 2 & 1 & n 0 & -1 & 1 1 & 0 & -2n

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 2 cdot det-1 & 1 0 & -2n - 1 cdot det0 & 1 1 & -2n + n cdot det0 & -1 1 & 0
Cada menor vale
det-1 & 1 0 & -2n = (-1)(-2n) - 1 cdot 0 = 2n,
det0 & 1 1 & -2n = 0 cdot (-2n) - 1 cdot 1 = -1,
det0 & -1 1 & 0 = 0 cdot 0 - (-1) cdot 1 = 1
Portanto
det(A) = 2 cdot (2n) - 1 cdot (-1) + n cdot (1) = 4n + 1 + n = 5n + 1

Passo 4

Para que F seja base, precisamos de det(A)neq0, ou seja
5n+1neq0 Longrightarrow nneq -tfrac15

Resposta

nneq -tfrac15

Exercícios relacionados