Mostre que L(V, W), é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que L(V,W) — o conjunto de todas as transformações lineares de um espaço vetorial V em outro espaço vetorial W sobre o mesmo corpo K — é, ele próprio, um espaço vetorial sobre K. Para isso vamos:
  1. Definir as operações de soma e multiplicação por escalar em L(V,W).
  2. Verificar que essas operações fecham em L(V,W) (isto é, soma e escalar de lineares continuam lineares).
  3. Mostrar que todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial são satisfeitas “ponto a ponto” porque W é espaço vetorial.

Passo 2

Definimos, para T,SinL(V,W) e lambdain K, as operações
(T+S)(v)=T(v)+S(v),
(lambda T)(v)=lambdal(T(v)r),
para todo vin V.
Agora verificamos que T+S e lambda T são realmente transformações lineares de V em W:
  1. (Aditividade)
(T+S)(v1+v2)=T(v1+v2)+S(v1+v2) =T(v1)+T(v2)+S(v1)+S(v2) =(T+S)(v1)+(T+S)(v2)
  1. (Homogeneidade)
(T+S)(mu v)=T(mu v)+S(mu v) =mu T(v)+mu S(v) =mul((T+S)(v)r)
Logo T+SinL(V,W).
De modo semelhante, para lambda T:
(lambda T)(v1+v2) =lambdal(T(v1+v2)r) =lambdal(T(v1)+T(v2)r) =lambda T(v1)+lambda T(v2) =(lambda T)(v1)+(lambda T)(v2),
(lambda T)(mu v) =lambdal(T(mu v)r) =lambdal(mu T(v)r) =(lambdamu),T(v) =(lambdamu)T(v) =(lambdamu)T(v),
logo lambda TinL(V,W).

Passo 3

Agora, como W é espaço vetorial, as operações ponto a ponto herdam todos os axiomas:
– Comutatividade da soma:
(T+S)(v)=T(v)+S(v)=S(v)+T(v)=(S+T)(v)
– Associatividade da soma:
l((T+S)+Ur)(v) =(T+S)(v)+U(v) =T(v)+S(v)+U(v) =(T+(S+U))(v)
– Elemento neutro aditivo: o zero é a transformação 0 dada por
0(v)=0W,
e de fato (T+0)(v)=T(v)+0W=T(v).
– Inverso aditivo: para cada T existe -T, definido por
(-T)(v)=-l(T(v)r),
tal que (T+(-T))(v)=T(v)-T(v)=0W.

Passo 4

Faltam os axiomas envolvendo escalares, também verificados ponto a ponto:
– Distributividade do escalar sobre a soma de transformações:
lambda,(T+S) tem valor em v: (lambda,(T+S))(v) =lambdal((T+S)(v)r) =lambdal(T(v)+S(v)r) =lambda T(v)+lambda S(v) =(lambda T+lambda S)(v)
– Distributividade do escalar sobre soma de escalares:
(lambda+mu)T em v: ((lambda+mu)T)(v) =(lambda+mu)T(v) =lambda T(v)+mu T(v) =(lambda T+mu T)(v)
– Compatibilidade de produto de escalares:
(lambdamu)T em v: ((lambdamu)T)(v) =(lambdamu),T(v) =lambdal(mu T(v)r) =lambdal(mu Tr)(v) =(lambda(mu T))(v)
– Elemento neutro escalar:
1cdot T em v: (1cdot T)(v) =1cdot T(v) =T(v)

Resposta

Concluímos que, com as operações definidas ponto a ponto e usando o fato de que W já é um espaço vetorial, todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre K são satisfeitas em L(V,W). Portanto, L(V,W) é um espaço vetorial sobre K.

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