Mostre que
, é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
— o conjunto de todas as transformações lineares de um espaço vetorial
em outro espaço vetorial
sobre o mesmo corpo
— é, ele próprio, um espaço vetorial sobre
. Para isso vamos:
- Definir as operações de soma e multiplicação por escalar em
. - Verificar que essas operações fecham em
(isto é, soma e escalar de lineares continuam lineares). - Mostrar que todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial são satisfeitas “ponto a ponto” porque
é espaço vetorial.
Passo 2
Definimos, para
e
, as operações
para todo
.
Agora verificamos que e
são realmente transformações lineares de
em
:
Agora verificamos que
- (Aditividade)
- (Homogeneidade)
Logo
.
De modo semelhante, para :
De modo semelhante, para
logo
.
Passo 3
Agora, como
é espaço vetorial, as operações ponto a ponto herdam todos os axiomas:
– Comutatividade da soma:
– Comutatividade da soma:
– Associatividade da soma:
– Elemento neutro aditivo: o zero é a transformação
dada por
e de fato
.
– Inverso aditivo: para cada existe
, definido por
– Inverso aditivo: para cada
tal que
.
Passo 4
Faltam os axiomas envolvendo escalares, também verificados ponto a ponto:
– Distributividade do escalar sobre a soma de transformações:
– Distributividade do escalar sobre a soma de transformações:
– Distributividade do escalar sobre soma de escalares:
– Compatibilidade de produto de escalares:
– Elemento neutro escalar:
Resposta
Concluímos que, com as operações definidas ponto a ponto e usando o fato de que
já é um espaço vetorial, todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial sobre
são satisfeitas em
. Portanto,
é um espaço vetorial sobre
.