Seja T: V W uma transformação linear. Mostre que
Para toda transformação linear T, todos os vetores v1, ldots, vn, e todos os escalares lambda1, ldots, lambdan in R, temos que T(sumi=1^n lambdai vi)=sumi=1^n lambdai T(vi).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda transformação linear Tcolon Vto W preserva combinações lineares, isto é, para quaisquer vetores v1,dots,vnin V e escalares lambda1,dots,lambdaninR vale
T!l(sumi=1^nlambdaivir) =sumi=1^nlambdai,T(vi)
Vamos usar duas coisas:
  1. Definição de linearidade, que diz T(u+v)=T(u)+T(v), T(alpha,u)=alpha,T(u)
  2. Prova por indução em n.

Passo 2

Caso base (n=1).
Se n=1, temos só um vetor v1 e um escalar lambda1. Então
T!l(lambda1v1r) =lambda1,T(v1)
é exatamente a propriedade de homogeneidade de T. Logo vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo.
Suponha que para algum n>=1 já seja verdade que
T!l(sumi=1^nlambdaivir) =sumi=1^nlambdai,T(vi)
Consideremos agora n+1 vetores e escalares. Escrevemos
sumi=1^n+1lambdaivi =l(sumi=1^nlambdaivir) +lambdan+1vn+1
Aplicando T e usando aditividade,
T!l(sumi=1^n+1lambdaivir) =T!l(sumi=1^nlambdaivir) +Tl(lambdan+1vn+1r)
Pela hipótese de indução o primeiro termo vira sumi=1^nlambdaiT(vi), e pelo fato de T ser homogênea o segundo termo é lambdan+1T(vn+1). Então
T!l(sumi=1^n+1lambdaivir) =sumi=1^nlambdaiT(vi) +lambdan+1T(vn+1) =sumi=1^n+1lambdaiT(vi)

Passo 4

Como o caso base n=1 vale e o passo indutivo foi feito, concluímos por indução que para todo n>=1
T!l(sumi=1^nlambdaivir) =sumi=1^nlambdai,T(vi)

Resposta

T!l(sumi=1^nlambdaivir) =sumi=1^nlambdai,T(vi)

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