Seja
uma transformação linear. Mostre que
Para toda transformação linear
, todos os vetores
, e todos os escalares
, temos que
.
Para toda transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda transformação linear
preserva combinações lineares, isto é, para quaisquer vetores
e escalares
vale
Vamos usar duas coisas:
- Definição de linearidade, que diz
- Prova por indução em
.
Passo 2
Caso base
.
Se , temos só um vetor
e um escalar
. Então
Se
é exatamente a propriedade de homogeneidade de
. Logo vale para
.
Passo 3
Passo indutivo.
Suponha que para algum já seja verdade que
Suponha que para algum
Consideremos agora
vetores e escalares. Escrevemos
Aplicando
e usando aditividade,
Pela hipótese de indução o primeiro termo vira
, e pelo fato de
ser homogênea o segundo termo é
. Então
Passo 4
Como o caso base
vale e o passo indutivo foi feito, concluímos por indução que para todo