Use sistemas completo de restos convenientes para provar que:
Para todo interio
Para todo interio
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, vale
O plano é usar sistemas completos de restos mais simples, isto é, primeiro trabalhar módulo
e módulo
(pois
e
), e depois aplicar o Teorema Chinês dos Restos para concluir o resultado módulo
.
Passo 2
Estudo da congruência módulo
.
Um sistema completo de restos módulo é
.
Um sistema completo de restos módulo
- Se
, então . - Se
, então .
Logo em todo caso
Passo 3
Estudo da congruência módulo
.
Um sistema completo de restos módulo é
. Podemos testar cada caso ou usar o fator
Um sistema completo de restos módulo
Entre três inteiros consecutivos
há sempre um múltiplo de
. Logo o produto
é divisível por
, isto é,
Passo 4
Conclusão via Teorema Chinês dos Restos.
Já vimos que
Já vimos que
Como
e
são coprimos, o Teorema Chinês garante que
Resposta
Concluímos que, para todo inteiro
,