Use sistemas completo de restos convenientes para provar que:
Para todo interio a, a^{3} \equiv a(\bmod 6)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro a, vale
a^{3}\equiv a\pmod{6}.
O plano é usar sistemas completos de restos mais simples, isto é, primeiro trabalhar módulo 2 e módulo 3 (pois 6=2\cdot3 e \gcd(2,3)=1), e depois aplicar o Teorema Chinês dos Restos para concluir o resultado módulo 6.

Passo 2

Estudo da congruência módulo 2.
Um sistema completo de restos módulo 2 é \{0,1\}.
  • Se a\equiv 0\pmod{2}, então a^{3}\equiv 0^{3}=0\equiv a\pmod{2}.
  • Se a\equiv 1\pmod{2}, então a^{3}\equiv 1^{3}=1\equiv a\pmod{2}.
    Logo em todo caso
a^{3}\equiv a\pmod{2}.

Passo 3

Estudo da congruência módulo 3.
Um sistema completo de restos módulo 3 é \{0,1,2\}. Podemos testar cada caso ou usar o fator
a^{3}-a=a\,(a-1)\,(a+1).
Entre três inteiros consecutivos a-1,a,a+1 há sempre um múltiplo de 3. Logo o produto a(a-1)(a+1) é divisível por 3, isto é,
a^{3}-a\equiv 0\pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad a^{3}\equiv a\pmod{3}.

Passo 4

Conclusão via Teorema Chinês dos Restos.
Já vimos que
a^{3}\equiv a\pmod{2} \quad\text{e}\quad a^{3}\equiv a\pmod{3}.
Como 2 e 3 são coprimos, o Teorema Chinês garante que
a^{3}\equiv a\pmod{6}.

Resposta

Concluímos que, para todo inteiro a,
a^{3}\equiv a\pmod{6}.

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