Para todo
, mostre que, nos inteiros,
9 divide
.
9 divide
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, o número
é múltiplo de
. O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, em particular o ciclo das potências de
módulo
.
Passo 2
Vamos simplificar
fatorando
:
Passo 3
Para testar divisibilidade por
, é suficiente ver que
. Note que as potências de
em módulo
são periódicas de período
:
e depois repete.
Passo 4
Dividimos em três casos, conforme
módulo
:
- Se
, então e
- Se
, então e
logo
- Se
, então e
daí
Em todos os casos
.
Resposta
Portanto, para todo
, o inteiro
é divisível por
.