Para todo n \in \mathbb{N}, mostre que, nos inteiros,
9 divide n 4^{n+1}-(n+1) 4^{n}+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o número
N(n)=n\,4^{n+1}-(n+1)\,4^n+1
é múltiplo de 9. O conteúdo que vamos usar é aritmética modular, em particular o ciclo das potências de 4 módulo 9.

Passo 2

Vamos simplificar N(n) fatorando 4^n:
N(n)=4^n\bigl(n\cdot4-(n+1)\bigr)+1 =4^n\,(4n-n-1)+1 =4^n\,(3n-1)+1.

Passo 3

Para testar divisibilidade por 9, é suficiente ver que N(n)\equiv0\pmod9. Note que as potências de 4 em módulo 9 são periódicas de período 3:
4^1\equiv4,\quad 4^2\equiv7,\quad 4^3\equiv1\pmod9,
e depois repete.

Passo 4

Dividimos em três casos, conforme n módulo 3:
  1. Se n=3k, então 4^n\equiv1\pmod9 e
N(n)\equiv(3n-1)\cdot1+1 =9k-1+1 =9k\equiv0\pmod9.
  1. Se n=3k+1, então 4^n\equiv4\pmod9 e
3n-1=3(3k+1)-1=9k+2,
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N(n)\equiv(9k+2)\cdot4+1 =36k+8+1 =36k+9 =9(4k+1)\equiv0\pmod9.
  1. Se n=3k+2, então 4^n\equiv7\pmod9 e
3n-1=3(3k+2)-1=9k+5,
daí
N(n)\equiv(9k+5)\cdot7+1 =63k+35+1 =63k+36 =9(7k+4)\equiv0\pmod9.
Em todos os casos N(n)\equiv0\pmod9.

Resposta

Portanto, para todo n\in\mathbb{N}, o inteiro n\,4^{n+1}-(n+1)\,4^n+1 é divisível por 9.

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