Seja \left(x_{n}\right) uma sequência de números reais. Mostre que \left(x_{n}\right) converge para L \in \mathbb{R} se, e somente se, ambas a subsequências \left(x_{2 k}\right) e \left(x_{2 k-1}\right) convergem para L.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência (x_n) em \mathbb{R} e pede para mostrar a equivalência
x_n \to L \quad\Longleftrightarrow\quad x_{2k}\to L \quad\text{e}\quad x_{2k-1}\to L.
O que vamos usar é a definição de convergência: dizemos que x_n\to L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, \lvert x_n-L\rvert<\varepsilon.

Passo 2

Prova da direção “ \Rightarrow”: suponha que x_n\to L. Seja \varepsilon>0. Então existe N tal que, para todo n\ge N,
\lvert x_n - L\rvert < \varepsilon.
Em particular, se k satisfaz 2k\ge N, então \lvert x_{2k}-L\rvert<\varepsilon. Logo x_{2k}\to L. Analogamente, se 2k-1\ge N, então \lvert x_{2k-1}-L\rvert<\varepsilon, de modo que x_{2k-1}\to L.

Passo 3

Prova da direção “ \Leftarrow”: suponha que x_{2k}\to L e x_{2k-1}\to L. Dado \varepsilon>0, existirão
N_1\quad\text{tal que}\quad\lvert x_{2k}-L\rvert<\varepsilon\text{ para todo }k\ge N_1,
e
N_2\quad\text{tal que}\quad\lvert x_{2k-1}-L\rvert<\varepsilon\text{ para todo }k\ge N_2.
Defina M=\max(N_1,N_2) e tome N=2M. Agora considere um índice n>N. Há dois casos:
  • Se n é par, então n=2k>2M implica k>M\ge N_1, logo \lvert x_n-L\rvert=\lvert x_{2k}-L\rvert<\varepsilon.
  • Se n é ímpar, então n=2k-1>2M leva a 2k>2M+1, ou seja, k>M\ge N_2, daí \lvert x_n-L\rvert=\lvert x_{2k-1}-L\rvert<\varepsilon.
Em ambos os casos \lvert x_n-L\rvert<\varepsilon sempre que n>N. Isso mostra que x_n\to L.

Resposta

Concluímos que
x_n\to L \quad\Longleftrightarrow\quad x_{2k}\to L \quad\text{e}\quad x_{2k-1}\to L.

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