Seja
uma sequência de números reais. Mostre que
converge para
se, e somente se, ambas a subsequências
e
convergem para
.
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência
em
e pede para mostrar a equivalência
O que vamos usar é a definição de convergência: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, para todo
,
.
Passo 2
Prova da direção “
”: suponha que
. Seja
. Então existe
tal que, para todo
,
Em particular, se
satisfaz
, então
. Logo
. Analogamente, se
, então
, de modo que
.
Passo 3
Prova da direção “
”: suponha que
e
. Dado
, existirão
e
Defina
e tome
. Agora considere um índice
. Há dois casos:
- Se
é par, então implica , logo . - Se
é ímpar, então leva a , ou seja, , daí .
Em ambos os casos
sempre que
. Isso mostra que
.
Resposta
Concluímos que