Mostre que:
\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\\\ 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\\\ 2 & 2 & 3 & \cdots & 2 \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 2 & 2 & 2 & \cdots & n \end{array}\right|=-2(n-2)!.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz n\times n
A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n
cuja forma é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\\\ 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\\\ 2 & 2 & 3 & \cdots & 2 \\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 2 & 2 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O elemento diagonal a_{ii}=i para i=1,\dots,n.
  • Todo elemento fora da diagonal vale 2, isto é, a_{ij}=2 para i\neq j.
  • A tarefa é mostrar que o determinante dessa matriz vale -2\,(n-2)!.

Passo 2

Relembrando propriedades de determinantes que vou usar (explicação didática):
  • Trocar uma linha por ela mesma menos um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Formalmente, substituir R_i por R_i - k R_j (com k escalar e i\neq j) preserva o valor do determinante.
  • Se após operações obtivermos uma matriz onde muitas linhas têm poucos elementos não nulos, podemos calcular o determinante por expansão de Laplace (expansão por uma coluna ou linha) ou por reconhecer um bloco triangular e multiplicar os elementos da diagonal do bloco triangular.
    Vou aplicar operações do tipo R_i\leftarrow R_i-R_1 e depois R_i\leftarrow R_i-R_2 (operações que não mudam o determinante) para simplificar a matriz e tornar o cálculo direto.

Passo 3

Faço, para cada i=2,\dots,n, a operação de linha
R_i \leftarrow R_i - R_1.
Vou analisar o efeito entrada a entrada. Para i\ge 2 e para uma coluna j:
  • Se j=1: a_{i1}-a_{11}=2-1=1.
  • Se j=i (elemento diagonal da linha i): a_{ii}-a_{1i}=i-2.
  • Se j\neq 1 e j\neq i: a_{ij}-a_{1j}=2-2=0.
Portanto, após essas operações a matriz passa a ter a forma (chamo-a A'):
  • primeira linha inalterada: [1,2,2,\dots,2];
  • para i\ge 2, a linha i tem apenas dois possíveis elementos não nulos: coluna 1 igual a 1 e coluna i igual a i-2 (note que para i=2 temos i-2=0, então a segunda linha fica simplesmente [1,0,0,\dots,0]).
Escrito: para i\ge2,
\text{linha }i = \big(1,\;0,\dots,0,\;i-2\text{ (na coluna }i),\;0,\dots,0\big).

Passo 4

Agora uso, para cada i=3,\dots,n, a operação
R_i \leftarrow R_i - R_2.
Justificativa: R_2 vale [1,0,0,\dots,0] depois do passo anterior, portanto subtrair R_2 de R_i elimina o 1 na primeira coluna das linhas i\ge3 e deixa apenas o termo na coluna i. Essas operações também não alteram o determinante.
Após isso, a matriz (chamo-a M) fica com linhas:
  • R_1=[1,2,2,\dots,2],
  • R_2=[1,0,0,\dots,0],
  • para i\ge3, R_i tem só um elemento não nulo: na coluna i o valor i-2. Ou seja
R_i=(0,0,\dots,0,\;i-2\text{ na coluna }i,\;0,\dots,0),\qquad i=3,\dots,n.
Exemplo mental rápido (para ver a forma): se n=5, a matriz fica
M=\begin{pmatrix} 1&2&2&2&2\\\\ 1&0&0&0&0\\\\ 0&0&1&0&0\\\\ 0&0&0&2&0\\\\ 0&0&0&0&3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora calculo \det(M) (lembrando que todas as operações foram do tipo que preserva determinante, logo \det(A)=\det(M)).
Observe a coluna 1 de M: só tem dois elementos possivelmente não nulos, em R_1 e R_2; nas linhas 3,\dots,n a coluna 1 é zero. Faço expansão de Laplace pela coluna 1. Assim
\det(M)=1\cdot C_{11} + 1\cdot C_{21},
onde C_{i1}=(-1)^{i+1}\det(M_{i1}) é o cofator associado (a multiplicação pelos valores da coluna 1 foi 1 e 1 respectivamente).
  • Primeiro termo: C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=\det(M_{11}). Mas M_{11} (menor obtido eliminando linha 1 e coluna 1) tem como primeira linha (vinda de R_2 original) um vetor nulo inteiro, porque R_2 após remover a coluna 1 é a linha zero. Assim \det(M_{11})=0. Logo C_{11}=0.
  • Segundo termo: C_{21}=(-1)^{2+1}\det(M_{21})=-\det(M_{21}). Aqui M_{21} é o menor obtido eliminando a linha 2 e a coluna 1. Vamos descrever M_{21}: suas linhas são (na ordem) a antiga R_1 (com a coluna 1 retirada) seguida por R_3,R_4,\dots,R_n (cada uma já tem só um elemento não nulo na sua coluna correspondente). Assim
    • a primeira linha de M_{21} é [2,2,\dots,2] (comprimento n-1);
    • as linhas seguintes formam uma matriz diagonal D de tamanho (n-2)\times(n-2) com entradas na diagonal iguais a 1,2,\dots,n-2 (essas vêm de i-2 para i=3,\dots,n).
Escrevendo M_{21} em blocos:
M_{21}=\begin{pmatrix} 2 & 2 & \cdots & 2\\[4pt] 0 & 1 & & 0\\\ \vdots & & \ddots & \\\\ 0 & 0 & & n-2 \end{pmatrix},
onde a submatriz abaixo da primeira linha é diagonal \operatorname{diag}(1,2,\dots,n-2).
Calcular \det(M_{21}) é simples: ao expandir por essa primeira coluna (ou notar que os zeros abaixo da primeira linha isolam o bloco diagonal), observa-se que apenas o elemento 2 da primeira linha/primeira coluna contribui ao determinante do menor, multiplicando o determinante do bloco diagonal. Portanto
\det(M_{21}) = 2\cdot \prod_{k=1}^{\,n-2} k = 2\,(n-2)!.]

Passo 6

Voltando à expressão de \det(M):
\det(M)=C_{11}+C_{21}=0 + (-\det(M_{21})) = -\det(M_{21}) = -2\,(n-2)!.
Como todas as operações usadas preservaram o determinante, temos \det(A)=\det(M). Portanto
\det(A) = -2\,(n-2)!.

Resposta

-2\,(n-2)!

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