Ambas conferências batem com o enunciado, logo os X e Y encontrados estão corretos.]
Passo 6
Passando para a parte B: explicação das definições e da estratégia.
P é uma matriz invertível: isso significa que existe P^{-1} tal que P^{-1}P=PP^{-1}=I, onde I é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação de matrizes).
D é diagonal: D tem entradas nulas fora da diagonal principal; escrevendo D=(d_{ij}), tem-se d_{ij}=0 sempre que i\neq j. Em particular, potências de uma matriz diagonal são fáceis de calcular: \,D^{k} é diagonal com entradas (d_{11}^{k},d_{22}^{k},\dots) na diagonal.
A igualdade a provar é típica de matrizes semelhantes: A é semelhante à matriz diagonal D via a mudança de base dada por P. A estratégia natural é usar indução sobre k ou simplesmente multiplicar sucessivamente e usar associatividade e P^{-1}P=I.
Vou fazer uma demonstração por indução, porque é direta e ensina o raciocínio usado em provas deste tipo.
Passo 7
Base da indução (k=1).
Para k=1 temos, por hipótese do enunciado,
A = P\,D\,P^{-1}.
Portanto a propriedade já é verdadeira para k=1:
A^{1}=P\,D^{1}\,P^{-1}.
Passo 8
Passo indutivo: suponha verdade para algum k\in\mathbb{N} e prove para k+1.
Hipótese de indução: suponha que
A^{k}=P\,D^{k}\,P^{-1}.
Então
A^{k+1}=A^{k}\,A.
Substituindo a hipótese de indução e a expressão de A:
A^{k+1}=(P\,D^{k}\,P^{-1})\,(P\,D\,P^{-1}).
Usar a associatividade da multiplicação de matrizes e o fato de que P^{-1}P=I:
Isso decorre de que na multiplicação de diagonais só multiplicam-se as entradas correspondentes da diagonal (fora da diagonal tudo permanece zero). Exemplo rápido: se