Obtenha as matrizes X e Y tais que
\left\{\begin{array}{l} X+Y=\left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\\\ -1 & 4 \end{array}\right] \\\ X-Y=\left[\begin{array}{ll} 8 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right] \end{array}\right.
Sejam P uma matriz invertível e D uma matriz diagonal. Mostre que se A=P D P^{-1}, então A^{k}= P D^{k} P^{-1} para k \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado tem duas partes bem claras:
  • Parte A (sistema de matrizes): encontrar as matrizes X e Y (tamanho 2\times2) que satisfazem o sistema
\left\{\begin{array}{l} X+Y=\displaystyle\begin{bmatrix}2 & 5\\[4pt]-1 & 4\end{bmatrix},\\[6pt] X-Y=\displaystyle\begin{bmatrix}8 & 1\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix}. \end{array}\right.
As informações fornecidas são as duas matrizes do lado direito; as incógnitas são X e Y.
  • Parte B (propriedade de potências): seja P uma matriz invertível e D uma matriz diagonal. O enunciado pede para mostrar que, se
A = P\,D\,P^{-1},
então vale
A^{k}=P\,D^{k}\,P^{-1}\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.
As informações dadas são que P é invertível (existe P^{-1}) e que D é diagonal. A incógnita é provar a igualdade para potências naturais k.]

Passo 2

Resolver a parte A — ideia algébrica para eliminar incógnitas.
  • Se somarmos as duas equações do sistema, (X+Y)+(X-Y), as parcelas Y se cancelam e obtemos 2X.
  • Se subtrairmos as duas equações, (X+Y)-(X-Y), as parcelas X se cancelam e obtemos 2Y.
Isso usa apenas propriedades elementares de soma/subtração de matrizes (operação feita elemento a elemento) e multiplicação de uma matriz por escalar.

Passo 3

Calcular X explicitamente a partir da soma das equações.
  • Soma das matrizes do lado direito:
\begin{bmatrix}2 & 5\\[4pt]-1 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}8 & 1\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2+8 & 5+1\\[4pt]-1+1 & 4+2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}10 & 6\\[4pt]0 & 6\end{bmatrix}.
  • Da relação 2X= soma acima, segue
X=\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}10 & 6\\[4pt]0 & 6\end{bmatrix}.
  • Multiplicando cada entrada por \tfrac{1}{2} (definição de multiplicação por escalar):
X=\begin{bmatrix}5 & 3\\[4pt]0 & 3\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular Y explicitamente a partir da subtração das equações.
  • Subtração das matrizes do lado direito:
\begin{bmatrix}2 & 5\\[4pt]-1 & 4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}8 & 1\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2-8 & 5-1\\[4pt]-1-1 & 4-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-6 & 4\\[4pt]-2 & 2\end{bmatrix}.
  • Da relação 2Y= diferença acima, segue
Y=\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}-6 & 4\\[4pt]-2 & 2\end{bmatrix}.
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
Y=\begin{bmatrix}-3 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{bmatrix}.]

Passo 5

Resumo da parte A (conferência rápida): podemos checar que X+Y e X-Y retornam as matrizes dadas.
  • Checar X+Y:
\begin{bmatrix}5 & 3\\[4pt]0 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 5\\[4pt]-1 & 4\end{bmatrix}.
  • Checar X-Y:
\begin{bmatrix}5 & 3\\[4pt]0 & 3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-3 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8 & 1\\[4pt]1 & 2\end{bmatrix}.
Ambas conferências batem com o enunciado, logo os X e Y encontrados estão corretos.]

Passo 6

Passando para a parte B: explicação das definições e da estratégia.
  • P é uma matriz invertível: isso significa que existe P^{-1} tal que P^{-1}P=PP^{-1}=I, onde I é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação de matrizes).
  • D é diagonal: D tem entradas nulas fora da diagonal principal; escrevendo D=(d_{ij}), tem-se d_{ij}=0 sempre que i\neq j. Em particular, potências de uma matriz diagonal são fáceis de calcular: \,D^{k} é diagonal com entradas (d_{11}^{k},d_{22}^{k},\dots) na diagonal.
  • A igualdade a provar é típica de matrizes semelhantes: A é semelhante à matriz diagonal D via a mudança de base dada por P. A estratégia natural é usar indução sobre k ou simplesmente multiplicar sucessivamente e usar associatividade e P^{-1}P=I.
Vou fazer uma demonstração por indução, porque é direta e ensina o raciocínio usado em provas deste tipo.

Passo 7

Base da indução ( k=1).
  • Para k=1 temos, por hipótese do enunciado,
A = P\,D\,P^{-1}.
  • Portanto a propriedade já é verdadeira para k=1:
A^{1}=P\,D^{1}\,P^{-1}.

Passo 8

Passo indutivo: suponha verdade para algum k\in\mathbb{N} e prove para k+1.
  • Hipótese de indução: suponha que
A^{k}=P\,D^{k}\,P^{-1}.
  • Então
A^{k+1}=A^{k}\,A.
  • Substituindo a hipótese de indução e a expressão de A:
A^{k+1}=(P\,D^{k}\,P^{-1})\,(P\,D\,P^{-1}).
  • Usar a associatividade da multiplicação de matrizes e o fato de que P^{-1}P=I:
(P\,D^{k}\,P^{-1})\,(P\,D\,P^{-1}) = P\,D^{k}\,\underbrace{(P^{-1}P)}_{=I}\,D\,P^{-1} = P\,D^{k}\,I\,D\,P^{-1}.
  • Como I é elemento neutro, I D = D, então
A^{k+1}=P\,D^{k}D\,P^{-1}=P\,D^{k+1}\,P^{-1}.
  • Isso completa o passo indutivo.

Passo 9

Conclusão da prova por indução.
  • Como a propriedade é verdadeira para k=1 (Passo 7) e o passo indutivo foi provado (Passo 8), por princípio da indução matemática a igualdade
A^{k}=P\,D^{k}\,P^{-1}
vale para todo k\in\mathbb{N}.

Passo 10

Comentário didático sobre D^{k} (útil na prova e na prática).
  • Se D é diagonal com entradas d_{11},d_{22},\dots,d_{nn} na diagonal, então
D=\mathrm{diag}(d_{11},d_{22},\dots,d_{nn}) \quad\Rightarrow\quad D^{k}=\mathrm{diag}(d_{11}^{k},d_{22}^{k},\dots,d_{nn}^{k}).
  • Isso decorre de que na multiplicação de diagonais só multiplicam-se as entradas correspondentes da diagonal (fora da diagonal tudo permanece zero). Exemplo rápido: se
D=\begin{bmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{bmatrix},
então
D^{2}=\begin{bmatrix}a^{2} & 0\\[4pt]0 & b^{2}\end{bmatrix},
e em geral D^{k}=\begin{bmatrix}a^{k} & 0\\[4pt]0 & b^{k}\end{bmatrix}.]

Resposta

\displaystyle X=\begin{bmatrix}5 & 3\\[4pt]0 & 3\end{bmatrix},\quad \displaystyle Y=\begin{bmatrix}-3 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{bmatrix}
\displaystyle A^{k}=P\,D^{k}\,P^{-1} para todo k\in\mathbb{N}.]

Exercícios relacionados