Mostre que se a \leq x \leq b e a \leq y \leq b, entāo |x-y| \leq b-a. Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem números reais a, b, x e y tais que a \leq x \leq b e a \leq y \leq b.
    O que se pede:
  • Mostrar a desigualdade |x-y| \leq b-a.
  • Fazer uma interpretação geométrica dessa desigualdade.

Passo 2

Lembrança importante sobre valor absoluto (distância): para qualquer número real t,
|t|\le M \quad\text{se, e somente se,}\quad -M \le t \le M,
onde M\ge 0. Em palavras: dizer que o valor absoluto de t é no máximo M é o mesmo que dizer que t está entre -M e M. Vamos aplicar isso ao número t=x-y.

Passo 3

Vamos obter um limite superior para x-y. Das hipóteses temos x \le b e y \ge a. Subtraindo y na segunda desigualdade não dá diretamente, então combine as duas observações assim:
  • Como x \le b e y \ge a, ao subtrair y da primeira desigualdade e subtrair a da segunda (ou simplesmente observar a diferença entre os limites), obtemos
x-y \le b-a.
Uma maneira mais direta de ver isso é: o maior que x pode ser é b, e o menor que y pode ser é a; portanto a maior possível diferença x-y é b-a.

Passo 4

Agora obtemos um limite inferior para x-y. Usando x \ge a e y \le b (essas são as outras desigualdades dadas), temos
x-y \ge a-b = -(b-a).
Outra forma de ver: a menor possível diferença x-y ocorre quando x é o menor possível ( a) e y é o maior possível ( b), então x-y \ge a-b.

Passo 5

Juntando os resultados dos Passos 3 e 4 obtemos
-(b-a) \le x-y \le b-a.
Pelo fato lembrado no Passo 2 sobre valor absoluto, isso é equivalente a
|x-y| \le b-a.
Portanto a desigualdade pedida está provada.

Passo 6

Interpretação geométrica (intuitiva e visual): na reta numérica os pontos x e y estão dentro do intervalo [a,b]. A distância entre x e y é exatamente |x-y|. Como ambos os pontos estão dentro do mesmo intervalo de comprimento b-a, a distância entre eles não pode ser maior que o comprimento desse intervalo. Assim |x-y|\le b-a. A igualdade |x-y|=b-a acontece quando um ponto está em um extremo do intervalo (por exemplo x=a) e o outro está no extremo oposto (por exemplo y=b).

Resposta

|x-y| \le b-a

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