Mostre que se
e
, entāo
. Interprete geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existem números reais
, , e tais que e .
O que se pede: - Mostrar a desigualdade
. - Fazer uma interpretação geométrica dessa desigualdade.
Passo 2
Lembrança importante sobre valor absoluto (distância): para qualquer número real
,
onde
. Em palavras: dizer que o valor absoluto de
é no máximo
é o mesmo que dizer que
está entre
e
. Vamos aplicar isso ao número
.
Passo 3
Vamos obter um limite superior para
. Das hipóteses temos
e
. Subtraindo
na segunda desigualdade não dá diretamente, então combine as duas observações assim:
- Como
e , ao subtrair da primeira desigualdade e subtrair da segunda (ou simplesmente observar a diferença entre os limites), obtemos
Uma maneira mais direta de ver isso é: o maior que
pode ser é
, e o menor que
pode ser é
; portanto a maior possível diferença
é
.
Passo 4
Agora obtemos um limite inferior para
. Usando
e
(essas são as outras desigualdades dadas), temos
Outra forma de ver: a menor possível diferença
ocorre quando
é o menor possível (
) e
é o maior possível (
), então
.
Passo 5
Juntando os resultados dos Passos 3 e 4 obtemos
Pelo fato lembrado no Passo 2 sobre valor absoluto, isso é equivalente a
Portanto a desigualdade pedida está provada.
Passo 6
Interpretação geométrica (intuitiva e visual): na reta numérica os pontos
e
estão dentro do intervalo
. A distância entre
e
é exatamente
. Como ambos os pontos estão dentro do mesmo intervalo de comprimento
, a distância entre eles não pode ser maior que o comprimento desse intervalo. Assim
. A igualdade
acontece quando um ponto está em um extremo do intervalo (por exemplo
) e o outro está no extremo oposto (por exemplo
).