Suponha que os vetores u, v, w sejam LI. Mostre que os vetores u+v, u-v e u+v+w também são LI.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores vec u,vec v,vec w linearmente independentes e pede para mostrar que os vetores
vec u + vec v, vec u - vec v, vec u + vec v + vec w
também são linearmente independentes. Vamos usar a definição: uma família é LI se toda combinação linear que dê vec0 for trivial (coeficientes todos nulos).

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica desses três vetores igual a zero:
a(vec u+vec v)+b(vec u-vec v)+c(vec u+vec v+vec w)=vec 0
Agora expandimos e agrupamos em vec u,vec v,vec w.

Passo 3

Ao expandir obtemos
(a+b+c),vec u + (a - b + c),vec v + c,vec w = vec 0
Como vec u,vec v,vec w são LI, os coeficientes devem satisfazer o sistema
a + b + c = 0, a - b + c = 0, c = 0

Passo 4

Da última equação vem c=0. Substituindo em a+b+c=0 e a-b+c=0
a + b = 0, a - b = 0
logo somando as duas equações temos 2a=0Rightarrow a=0 e então b=0. Assim a=b=c=0, ou seja, só há a combinação trivial.

Resposta

Os vetores vec u+vec v, vec u-vec v e vec u+vec v+vec w são linearmente independentes.

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