Suponha que os vetores sejam LI. Mostre que os vetores e também são LI.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores linearmente independentes e pede para mostrar que os vetores
também são linearmente independentes. Vamos usar a definição: uma família é LI se toda combinação linear que dê for trivial (coeficientes todos nulos).
Passo 2
Considere uma combinação linear genérica desses três vetores igual a zero:
Agora expandimos e agrupamos em .
Passo 3
Ao expandir obtemos
Como são LI, os coeficientes devem satisfazer o sistema
Passo 4
Da última equação vem c=0. Substituindo em a+b+c=0 e a-b+c=0 dá
a + b = 0, a - b = 0
logo somando as duas equações temos 2a=0Rightarrow a=0 e então b=0. Assim a=b=c=0, ou seja, só há a combinação trivial.
Resposta
Os vetores vec u+vec v, vec u-vec v e vec u+vec v+vec w são linearmente independentes.