Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n5 n+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternante
sumn=1^infty(-1)^n+1n5n+1
Vamos usar o teste da convergência do termo geral, que afirma: se
limntoinftyan neq 0,
então a série sum an diverge.

Passo 2

Identificamos o termo geral
an = (-1)^n+1n5n+1
Para aplicar o teste do termo geral, precisamos calcular
limntoinftyan.

Passo 3

Como (-1)^n+1 oscila entre +1 e -1, basta avaliar
limntoinftyn5n+1.
Temos
limntoinftyn5n+1 =limntoinfty15+tfrac1n =15neq 0

Passo 4

Como
limntoinftyan não existe devido à oscilação em pm15 (portanto não tende a zero), a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Logo ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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