Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
O conteúdo aqui é o teste de Leibniz (para séries alternadas) e, em seguida, o teste de integral para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Definimos os termos positivos
Precisamos checar duas condições do teste de Leibniz:
-
- A sequência
é decrescente para grande.
Para (1):
pois
.
Para (2), considere a função contínua
Calculando a derivada,
que é negativa para todo
. Logo
é decrescente e
também.
Passo 3
Como
e
é decrescente, a série
converge pelo teste de Leibniz.
Passo 4
Para ver se converge absolutamente, analisamos
Aplicando o teste da integral:
Como a integral diverge, a série de termos positivos também diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge somente de forma condicional (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).