Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=2^infty (-1)^n-1n ln n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternada
sumn=2^infty (-1)^n-1nln n
O conteúdo aqui é o teste de Leibniz (para séries alternadas) e, em seguida, o teste de integral para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos os termos positivos
an = 1nln n, n>=2
Precisamos checar duas condições do teste de Leibniz:
  1. limntoinftyan = 0
  2. A sequência (an) é decrescente para n grande.
Para (1):
limntoinfty 1nln n = 0
pois nln ntoinfty.
Para (2), considere a função contínua
f(x)=1xln x, x>=2
Calculando a derivada,
f'(x) =ddxl(xln xr)^-1 =-1+ln xx^2(ln x)^2,
que é negativa para todo x>1. Logo f é decrescente e an=f(n) também.

Passo 3

Como anto0 e (an) é decrescente, a série
sumn=2^infty(-1)^n-1an
converge pelo teste de Leibniz.

Passo 4

Para ver se converge absolutamente, analisamos
sumn=2^inftyan =sumn=2^infty1nln n
Aplicando o teste da integral:
integral2^inftydxxln x =l[ln(ln x)r]2^infty =limttoinftyln(ln t)-ln(ln 2) =infty
Como a integral diverge, a série de termos positivos também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge somente de forma condicional (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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