Mostre que lim _{n \rightarrow \infty} \frac{k}{n}=0, \forall k \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo real k fixo, a sequência
a_n = \frac{k}{n}
tem limite zero quando n\to\infty. O conteúdo aqui é a definição de limite de sequência (sequências numéricas) via argumento \varepsilon–N.
Passo 2
Lembrando a definição de limite: dizemos que \lim_{n\to\infty}a_n = L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n\ge N, temos
\bigl|a_n - L\bigr| < \varepsilon.
No nosso caso queremos L=0 e a_n = \tfrac{k}{n}.
Passo 3
Calculemos a diferença em valor absoluto:
\biggl|\frac{k}{n} - 0\biggr| = \frac{|k|}{n}.
Para tornar \tfrac{|k|}{n}<\varepsilon, basta escolher N grande o bastante de modo que
\frac{|k|}{N} < \varepsilon.
Passo 4
Resolva a inequação acima para N. Como |k| e \varepsilon são positivos, podemos tomar
N > \frac{|k|}{\varepsilon}.
Então, sempre que n\ge N, temos
\frac{|k|}{n} \le \frac{|k|}{N} < \varepsilon.
Isso significa exatamente que \bigl|a_n - 0\bigr|<\varepsilon para n suficientemente grande.