Mostre que \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq 2 para x_{n}=1 \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência (x_n) tal que x_n = 1 para todo n\in\mathbb{N}, e nos pede para provar que \lim_{n\to\infty}x_n \neq 2. O conteúdo que vamos usar é a definição de limite de uma sequência numérica.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n = 2.
Pela definição de limite, isso significa que para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n > N, temos
|x_n - 2| < \varepsilon.

Passo 3

Escolhemos \varepsilon = \tfrac12. Como x_n = 1 para todo n, segue que
|x_n - 2| = |1 - 2| = 1.
Mas 1 não é menor que \tfrac12. Logo, nenhuma escolha de N garante que para n>N tenhamos |x_n - 2| < \tfrac12, contradizendo a definição de limite.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição, concluímos que não é possível ter \lim_{n\to\infty}x_n = 2. Portanto o limite não é 2.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n \neq 2.

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