Sejam
e
conjuntos (não-vazios) limitados de números reais. Se, para cada
e cada
existem
e
tais que
e
, então
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos não-vazios e limitados de reais,
e
, e afirma que
- para todo
existe com , - para todo
existe com .
Queremos mostrar que
Usaremos a definição de supremo como mínimo dos limitantes superiores e a de ínfimo como máximo dos limitantes inferiores, além do fato de que, se
, então
e
.
Passo 2
Prova de
:
- Como
, qualquer limitante superior de também serve para . Logo
- Para a desigualdade oposta, seja
. Pela definição de supremo de , existe algum tal que
Pelo enunciado, a esse
corresponde
com
. Então
Como isso vale para todo
, concluímos
.
3. Juntando as duas desigualdades, obtemos .
3. Juntando as duas desigualdades, obtemos
Passo 3
Prova de
:
- De
segue imediatamente
- Para a desigualdade oposta, seja
. Pela definição de ínfimo de , existe tal que
Pelo enunciado, existe
com
. Logo
Como vale para todo
, temos
.
3. Assim .
3. Assim