Sejam
e
subconjuntos não vazios e limitados superiormente de
. Demonstre que o conjunto
é não vazio, limitado superiormente e
.
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são subconjuntos não vazios de
, cada um limitado superiormente, e define
Queremos mostrar que
também é não vazio, é limitado superiormente e que
Para isso usaremos a definição de limite superior (supremo) e a propriedade arquimediana em
.
Passo 2
Como
e
são não vazios, escolhemos
e
. Logo
, mostrando que
.
Sejam e
. Para todo
temos
e para todo
temos
. Então, para todo
,
Sejam
Isto prova que
é um limitante superior de
, ou seja,
é limitado superiormente.
Passo 3
Agora vamos mostrar que não existe um limitante superior estritamente menor que
. Seja
. Como
é supremo de
, existe
tal que
Analogamente, existe
com
Somando as duas desigualdades obtém-se
Como
, concluímos que para todo
existe elemento em
maior que
. Isso implica que nenhum número menor que
pode ser um limitante superior de
.
Passo 4
Dos passos anteriores temos que
é um limitante superior de
e que qualquer número menor que
deixa de ser limitante superior. Portanto, por definição de supremo,