Resolva o problema de valor inicial.
y^prime prime-3 y^prime+2,25 y=27(x^2-x), y(0)=20, y^prime(0)=30

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial:
y'' - 3y' + 2,25,y = 27,(x^2 - x),
com condições iniciais y(0)=20 e y'(0)=30.
Conteúdo: solução de EDO linear com método do complemento (solução homogênea) e dos coeficientes indeterminados (solução particular).

Passo 2

Encontrar a solução homogênea ,yh resolvendo a equação característica
r^2 - 3r + 2,25 = 0
O discriminante é De<a = 9 - 9 = 0, raiz dupla
r = 32
Logo
yh(x) = (C1 + C2,x),e^tfrac32 x

Passo 3

Propor uma solução particular do tipo polinomial de grau 2:
yp(x) = A,x^2 + B,x + C
Calculamos as derivadas:
yp'(x) = 2A,x + B, yp''(x) = 2A
Substituindo na EDO:
2A - 3l(2A,x + Br) + 2,25l(A,x^2 + B,x + Cr) = 27,(x^2 - x)
Agrupando termos:
2,25A,x^2 + l(-6A + 2,25Br)x + l(2A -3B +2,25Cr) = 27,x^2 -27,x
Igualando coeficientes em cada potência de x:
2,25A = 27, -6A + 2,25B = -27, 2A -3B + 2,25C = 0
Resolvendo:
A = 272,25 = 12, -6cdot12 + 2,25B = -27 ;Rightarrow; B = 20, 2cdot12 -3cdot20 + 2,25C = 0 ;Rightarrow; C = 16
Logo
yp(x) = 12x^2 + 20x + 16

Passo 4

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2,x)e^tfrac32 x + 12x^2 + 20x + 16

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para achar C1 e C2.
  1. Em x=0,
y(0) = C1 + 16 = 20 Rightarrow C1 = 4
  1. Derivando y:
y'(x) = ddxl[(C1 + C2 x)e^tfrac32 xr] + (24x + 20) = l[C2 + tfrac32(C1 + C2 x)r]e^tfrac32 x + 24x + 20
Em x=0:
y'(0) = l[C2 + tfrac32,C1r] + 20 = 30 ;Rightarrow; C2 + 6 + 20 = 30 ;Rightarrow; C2 = 4

Resposta

boxedy(x) = l(4 + 4xr)e^tfrac32 x + 12x^2 + 20x + 16

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