Mostre que
, mas que não existe o limite
.
Sugestão. Para o segundo limite, considere o caminho
(ou seja,
).
Passo 1
O enunciado pede dois limites de funções de duas variáveis em
:
- Mostrar que
- Mostrar que
não existe.
O conteúdo é limite em várias variáveis, usando o Teorema do Confronto e análise por caminhos.
O conteúdo é limite em várias variáveis, usando o Teorema do Confronto e análise por caminhos.
Passo 2
Para o primeiro limite, aplicamos uma desigualdade de AM–GM:
logo
Multiplicando por
obtemos
Como
|y|to0 quando
(x,y)to(0,0) , o Teorema do Confronto dá
Passo 3
Para o segundo limite, escolhemos o caminho
gamma(t)=(t^2,t) , ou seja
x=t^2,,y=t . Então
Logo, ao longo de
gamma , o valor da função tende a
tfrac12 .
Passo 4
Por outro lado, no caminho
x=0 (aproximação pelo eixo
y ) temos
de modo que o limite é
0 . Como obtivemos dois valores distintos (
tfrac12 e
0 ), concluímos que
não existe.
Resposta
O limite
lim(x,y)to(0,0)x,y^3x^2+y^4 é
0 .
O limitelim(x,y)to(0,0)x,y^2x^2+y^4 não existe.
O limite