Mostre que lim substackx 0 y 0 x y^3x^2+y^4=0, mas que não existe o limite lim substackx 0 y 0 x y^2x^2+y^4.
Sugestão. Para o segundo limite, considere o caminho gamma(t)=(t^2, t) (ou seja, x=y^2 ).

Passo 1

O enunciado pede dois limites de funções de duas variáveis em (0,0):
  1. Mostrar que
lim(x,y)to(0,0) x,y^3x^2+y^4 = 0
  1. Mostrar que
lim(x,y)to(0,0) x,y^2x^2+y^4
não existe.
O conteúdo é limite em várias variáveis, usando o Teorema do Confronto e análise por caminhos.

Passo 2

Para o primeiro limite, aplicamos uma desigualdade de AM–GM:
x^2+y^42;>=;raizx^2,y^4 ;=;|x|,y^2,
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x^2+y^4;>=;2,|x|,y^2
Multiplicando por |y|>=0 obtemos
|y|,(x^2+y^4);>=;2,|x|,y^3 Longrightarrow gl|x,y^3x^2+y^4gr|;<=;12,|y|
Como |y|to0 quando (x,y)to(0,0), o Teorema do Confronto dá
lim(x,y)to(0,0) x,y^3x^2+y^4 = 0

Passo 3

Para o segundo limite, escolhemos o caminho
gamma(t)=(t^2,t), ou seja x=t^2,,y=t. Então
x,y^2x^2+y^4 =t^2cdot t^2(t^2)^2+t^4 =t^4t^4+t^4 =12
Logo, ao longo de gamma, o valor da função tende a tfrac12.

Passo 4

Por outro lado, no caminho x=0 (aproximação pelo eixo y) temos
x,y^2x^2+y^4 =0cdot y^20+y^4 =0,
de modo que o limite é 0. Como obtivemos dois valores distintos ( tfrac12 e 0), concluímos que
lim(x,y)to(0,0) x,y^2x^2+y^4
não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)x,y^3x^2+y^4 é 0.
O limite lim(x,y)to(0,0)x,y^2x^2+y^4 não existe.

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