Mostre que lim substackx 0 y 0 sen(x^2+y^2)x^2+y^2=1, mas que não existe o limite lim substackx 0 y 0 sen(x^2+y^2)2 x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites de funções de duas variáveis quando (x,y)to(0,0): a primeira é
sin(x^2+y^2)x^2+y^2, e a segunda é
sin(x^2+y^2)2x^2+y^2.
O conteúdo envolve limite de funções de várias variáveis, uso de coordenadas polares e teste de caminhos para verificar existência de limite.

Passo 2

Para o primeiro limite, usamos coordenadas polares definindo x = rcostheta, y = rsintheta. Assim
x^2+y^2 = r^2
e a expressão fica
sin(x^2+y^2)x^2+y^2 = sin(r^2)r^2
Como rto0 quando (x,y)to(0,0) e sabemos o limite clássico
limtto0 sin(t)t = 1,
segue que
lim(x,y)to(0,0) sin(x^2+y^2)x^2+y^2 = limrto0 sin(r^2)r^2 = 1

Passo 3

Para o segundo limite, lembramos que, para existir, o valor tem de ser o mesmo em toda trajetória que leve (x,y) a (0,0). Vamos examinar duas curvas.

Passo 4

Na reta y=0, temos
sin(x^2+y^2)2x^2+y^2 = sin(x^2)2x^2
Como xto0,
limxto0 sin(x^2)2x^2 = tfrac12 limxto0 sin(x^2)x^2 = tfrac12 cdot 1 = tfrac12

Passo 5

Na reta y=x, temos
sin(x^2+y^2)2x^2+y^2 = sin(2x^2)3x^2
Logo
limxto0 sin(2x^2)3x^2 = tfrac23 limxto0sin(2x^2)2x^2 = tfrac23cdot1 = tfrac23

Passo 6

Como obtemos tfrac12 em um caminho e tfrac23 em outro, o limite
sin(x^2+y^2)2x^2+y^2 não pode ter um valor único. Portanto, ele não existe.

Resposta

O limite
lim(x,y)to(0,0)sin(x^2+y^2)x^2+y^2 = 1
O limite
lim(x,y)to(0,0)sin(x^2+y^2)2x^2+y^2
não existe

Exercícios relacionados