Mostre que
, mas que não existe o limite
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois limites de funções de duas variáveis quando
: a primeira é
, e a segunda é
.
O conteúdo envolve limite de funções de várias variáveis, uso de coordenadas polares e teste de caminhos para verificar existência de limite.
O conteúdo envolve limite de funções de várias variáveis, uso de coordenadas polares e teste de caminhos para verificar existência de limite.
Passo 2
Para o primeiro limite, usamos coordenadas polares definindo
,
. Assim
e a expressão fica
Como
quando
e sabemos o limite clássico
segue que
Passo 3
Para o segundo limite, lembramos que, para existir, o valor tem de ser o mesmo em toda trajetória que leve
a
. Vamos examinar duas curvas.
Passo 4
Na reta
, temos
Como
,
Passo 5
Na reta
, temos
Logo
Passo 6
Como obtemos
em um caminho e
em outro, o limite
não pode ter um valor único. Portanto, ele não existe.
Resposta
O limite
O limite
não existe