Mostre que
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{500}{x}=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty} \frac{500}{x}.
Este é um problema de limites no infinito de funções racionais. Vamos usar a propriedade de que \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 e a regra de multiplicação de limites por constantes.

Passo 2

Observe que
\frac{500}{x} = 500 \cdot \frac{1}{x}.
Como sabemos que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} = 0,
pelo teorema do produto de limites temos
\lim_{x\to\infty}500\cdot \frac{1}{x} = 500 \cdot 0 = 0.

Passo 3

Podemos fazer também uma demonstração pelo método \varepsilon-δ: dado \varepsilon>0, queremos escolher M tal que, para todo x>M,
\left|\frac{500}{x}-0\right|<\varepsilon.
Note que
\left|\frac{500}{x}\right|=\frac{500}{x}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad x>\frac{500}{\varepsilon}.
Basta então definir
M = \frac{500}{\varepsilon},
e assim, sempre que x>M, asseguramos \bigl|\frac{500}{x}-0\bigr|<\varepsilon. Isso prova que o limite é zero.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\frac{500}{x} = 0.

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