Mostre que
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{9}{x^{2}}=0

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que
\lim_{x\to\infty}\frac{9}{x^{2}}=0.
O conteúdo é definição de limite de função quando x tende a infinito, usando a abordagem \varepsilon M.

Passo 2

Pela definição, devemos provar que para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que, sempre que x>M, temos
\left|\frac{9}{x^{2}}-0\right|<\varepsilon.

Passo 3

Note que
\left|\frac{9}{x^{2}}\right|=\frac{9}{x^{2}}.
Queremos \frac{9}{x^{2}}<\varepsilon, isto é,
x^{2}>\frac{9}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad x>\sqrt{\frac{9}{\varepsilon}}=\frac{3}{\sqrt{\varepsilon}}.
Basta, então, escolher
M=\frac{3}{\sqrt{\varepsilon}},
pois para todo x>M vem \frac{9}{x^{2}}<\varepsilon.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\frac{9}{x^{2}}=0.

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