Mostre que
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2}{3-x}=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2}{3-x}.
O conteúdo aqui é limite de função no infinito e podemos usar a definição formal de limite no infinito (prova ε–M).

Passo 2

Pela definição, queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que, se x>M, então
\Bigl|\frac{2}{3-x}-0\Bigr|<\varepsilon.
Observando o valor absoluto, para x>3 temos
\Bigl|\frac{2}{3-x}\Bigr| =\frac{2}{|3-x|} =\frac{2}{x-3}\,.

Passo 3

Queremos então
\frac{2}{x-3}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad x-3>\frac{2}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad x>\frac{2}{\varepsilon}+3.
Basta escolher
M=\frac{2}{\varepsilon}+3.
Assim, sempre que x>M teremos \bigl|2/(3-x)\bigr|<\varepsilon.

Passo 4

Pela definição de limite no infinito, concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{3-x}=0.

Resposta

\displaystyle 0

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