Mostre que lim (x, y) (0,0) 2 y^3x^2+2 y^2=0.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para mostrar que o limite de 2 y^3x^2+2 y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a zero. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta à medida que (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos e usar algumas propriedades de limites para confirmar que o limite realmente é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para mostrar que o limite de uma função de duas variáveis é zero, precisamos verificar se, não importa o caminho que a gente escolha para aproximar (x, y) de (0,0), o valor da função sempre tende a zero. Então, vamos tentar simplificar a expressão 2 y^3x^2+2 y^2 para facilitar essa análise.

Passo 3

Uma boa estratégia é usar desigualdades para estimar o valor absoluto da função. Vamos considerar o valor absoluto de 2 y^3x^2+2 y^2:
| 2 y^3x^2+2 y^2 |
Agora, vamos encontrar uma forma de limitar esse valor acima por uma expressão mais simples que sabemos que tende a zero.

Passo 4

Observamos que no denominador, x^2 + 2 y^2 é sempre positivo, a menos que x e y sejam ambos zero, o que não é o caso aqui. Portanto, podemos dizer que:
x^2 + 2 y^2 >= 2 y^2
Isso nos permite escrever:
| 2 y^3x^2+2 y^2 | <= | 2 y^32 y^2 | = |y|

Passo 5

Então, concluímos que:
| 2 y^3x^2+2 y^2 | <= |y|
Agora, sabemos que quando (x, y) se aproxima de (0,0), |y| também se aproxima de zero. Portanto, pelo critério do limite, se o valor absoluto da função é menor ou igual a algo que tende a zero, então o limite da função também tende a zero.

Resposta

Portanto, lim (x, y) (0,0) 2 y^3x^2+2 y^2=0.

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