Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a zero. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta à medida que se aproxima de por diferentes caminhos e usar algumas propriedades de limites para confirmar que o limite realmente é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para mostrar que o limite de uma função de duas variáveis é zero, precisamos verificar se, não importa o caminho que a gente escolha para aproximar de , o valor da função sempre tende a zero. Então, vamos tentar simplificar a expressão para facilitar essa análise.
Passo 3
Uma boa estratégia é usar desigualdades para estimar o valor absoluto da função. Vamos considerar o valor absoluto de :
Agora, vamos encontrar uma forma de limitar esse valor acima por uma expressão mais simples que sabemos que tende a zero.
Passo 4
Observamos que no denominador, x^2 + 2 y^2 é sempre positivo, a menos que x e y sejam ambos zero, o que não é o caso aqui. Portanto, podemos dizer que:
x^2 + 2 y^2 >= 2 y^2
Isso nos permite escrever:
| 2 y^3x^2+2 y^2 | <= | 2 y^32 y^2 | = |y|
Passo 5
Então, concluímos que:
| 2 y^3x^2+2 y^2 | <= |y|
Agora, sabemos que quando (x, y) se aproxima de (0,0), |y| também se aproxima de zero. Portanto, pelo critério do limite, se o valor absoluto da função é menor ou igual a algo que tende a zero, então o limite da função também tende a zero.