Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(2,-1)} 2 x-3 y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(2,-1)} 2x-3y^{2}=1.
Informações dadas:
\text{função }f(x,y)=2x-3y^{2}\quad\text{e o ponto de interesse }(x,y)=(2,-1).çã
Pergunta clara: provar que, quando (x,y) se aproxima de (2,-1), os valores de f(x,y) se aproximam de 1.

Passo 2

Vou usar duas abordagens complementares e bem didáticas:
  1. argumento por continuidade (rápido e conceitual);
  2. demonstração \varepsilon- \delta (formal e rigorosa), mostrando como escolher \delta dado \varepsilon.
    Escolhi essas porque a primeira mostra a ideia intuitiva e a segunda mostra como provar rigorosamente num exame, sem pular etapas.

Passo 3

Argumento por continuidade (intuição e atalho válido):
Funções polinomiais em cada variável são contínuas. A operação de soma e multiplicação de funções contínuas resulta em função contínua. Como x\mapsto 2x e y\mapsto y^{2} são contínuas, a função
f(x,y)=2x-3y^{2}
é contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Para uma função contínua, o limite no ponto é o valor da função nesse ponto. Portanto basta calcular f(2,-1):
f(2,-1)=2\cdot 2-3\cdot(-1)^{2}=4-3=1.
Assim, pela continuidade, \lim_{(x,y)\to(2,-1)} 2x-3y^{2}=1.

Passo 4

Agora a prova \varepsilon- \delta (passo a passo rigoroso). Objetivo: dado \varepsilon>0 encontrar \delta>0 tal que, se
\sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta,
então
\bigl|2x-3y^{2}-1\bigr|<\varepsilon.

Passo 5

Transformação da diferença a controlar:
2x-3y^{2}-1 = 2(x-2)-3\bigl(y^{2}-1\bigr).
Note que y^{2}-1=(y+1)(y-1). Essas manipulações são só álgebra para colocar a expressão em termos de x-2 e y+1, que medimos com a distância ao ponto (2,-1).

Passo 6

Defina
r=\sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}.
Então temos as desigualdades básicas
|x-2|\le r,\qquad |y+1|\le r.
Também usamos que
|y-1|=|\, (y+1)-2 \,|\le |y+1|+2 \le r+2.
Logo
|y^{2}-1|=|y+1|\;|y-1|\le r(r+2)=r^{2}+2r.

Passo 7

Aplicando desigualdade triangular e as estimativas anteriores:
\bigl|2x-3y^{2}-1\bigr| \le 2|x-2| + 3|y^{2}-1| \le 2r + 3(r^{2}+2r) = 8r + 3r^{2}.

Passo 8

Agora queremos garantir 8r+3r^{2}<\varepsilon. Uma escolha prática é restringir r\le 1, então r^{2}\le r e
8r+3r^{2}\le 8r+3r = 11r.
Para ter 11r<\varepsilon é suficiente escolher r<\varepsilon/11. Assim uma escolha válida é
\delta = \min\!\bigl(1,\tfrac{\varepsilon}{11}\bigr).
Então, sempre que \sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta teremos r<\delta\le 1 e 11r<\varepsilon, logo
\bigl|2x-3y^{2}-1\bigr| \le 11r < \varepsilon.

Passo 9

Conclusão do argumento \varepsilon- \delta: para todo \varepsilon>0 existe \delta=\min(1,\varepsilon/11)>0 tal que se \sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta então \bigl|2x-3y^{2}-1\bigr|<\varepsilon. Isso prova rigorosamente que
\lim_{(x,y)\to(2,-1)} 2x-3y^{2}=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados