Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(2,-1)} 2 x-3 y^{2}=1.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(2,-1)} 2x-3y^{2}=1.
Informações dadas:
\text{função }f(x,y)=2x-3y^{2}\quad\text{e o ponto de interesse }(x,y)=(2,-1).
Pergunta clara: provar que, quando (x,y) se aproxima de (2,-1), os valores de f(x,y) se aproximam de 1.
Passo 2
Vou usar duas abordagens complementares e bem didáticas:
argumento por continuidade (rápido e conceitual);
demonstração \varepsilon-\delta (formal e rigorosa), mostrando como escolher \delta dado \varepsilon.
Escolhi essas porque a primeira mostra a ideia intuitiva e a segunda mostra como provar rigorosamente num exame, sem pular etapas.
Passo 3
Argumento por continuidade (intuição e atalho válido):
Funções polinomiais em cada variável são contínuas. A operação de soma e multiplicação de funções contínuas resulta em função contínua. Como x\mapsto 2x e y\mapsto y^{2} são contínuas, a função
f(x,y)=2x-3y^{2}
é contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Para uma função contínua, o limite no ponto é o valor da função nesse ponto. Portanto basta calcular f(2,-1):
f(2,-1)=2\cdot 2-3\cdot(-1)^{2}=4-3=1.
Assim, pela continuidade, \lim_{(x,y)\to(2,-1)} 2x-3y^{2}=1.
Passo 4
Agora a prova \varepsilon-\delta (passo a passo rigoroso). Objetivo: dado \varepsilon>0 encontrar \delta>0 tal que, se
\sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta,
então
\bigl|2x-3y^{2}-1\bigr|<\varepsilon.
Passo 5
Transformação da diferença a controlar:
2x-3y^{2}-1 = 2(x-2)-3\bigl(y^{2}-1\bigr).
Note que y^{2}-1=(y+1)(y-1). Essas manipulações são só álgebra para colocar a expressão em termos de x-2 e y+1, que medimos com a distância ao ponto (2,-1).
Passo 6
Defina
r=\sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}.
Então temos as desigualdades básicas
|x-2|\le r,\qquad |y+1|\le r.
Também usamos que
|y-1|=|\, (y+1)-2 \,|\le |y+1|+2 \le r+2.
Logo
|y^{2}-1|=|y+1|\;|y-1|\le r(r+2)=r^{2}+2r.
Passo 7
Aplicando desigualdade triangular e as estimativas anteriores:
Então, sempre que \sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta teremos r<\delta\le 1 e 11r<\varepsilon, logo
\bigl|2x-3y^{2}-1\bigr| \le 11r < \varepsilon.
Passo 9
Conclusão do argumento \varepsilon-\delta: para todo \varepsilon>0 existe \delta=\min(1,\varepsilon/11)>0 tal que se \sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta então \bigl|2x-3y^{2}-1\bigr|<\varepsilon. Isso prova rigorosamente que