Mostre que
lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^4
não existe.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x,y^2x^2+y^4
quando (x,y)to(0,0) não existe.
Conteúdo: limites em R^2 e teste de existência por trajetórias diferentes.

Passo 2

Analisamos a trajetória y=0. Substituindo em f vem
f(x,0)=xcdot0^2x^2+0^4=0
Logo, ao aproximar (x,y)to(0,0) por pontos de forma (x,0), temos
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0

Passo 3

Agora usamos a trajetória x=y^2. Então
f(y^2,y) =y^2cdot y^2(y^2)^2+y^4 =y^4y^4+y^4 =12
Isso mostra que, ao aproximar (x,y)to(0,0) por (y^2,y),
limyto0f(y^2,y)=12

Passo 4

Como pelas duas trajetórias obtivemos limites diferentes ( 0 e tfrac12), o limite geral não pode existir. Em R^2, se o limite existisse, ele seria único para qualquer modo de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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