Mostre que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) 3 x^4 y4 x^6+y^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0)3x^4y4x^6+y^3
não existe. Vamos usar o conceito de limite em duas variáveis e verificar se o valor da expressão depende do caminho de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Considere a aproximação ao mundo origem pela curva
y = kx^2, com k constante. Substituindo em
f(x,y)=3x^4y4x^6+y^3, temos
limxto03x^4,(k x^2)4x^6+(k x^2)^3 =limxto03k,x^64x^6+k^3x^6 =3k4+k^3

Passo 3

O valor 3k4+k^3 depende de k. Por exemplo:
  • Se k=0, o limite ao longo de y=0 é 0.
  • Se k=1, o limite ao longo de y=x^2 é tfrac35.
Como obtemos resultados diferentes para escolhas diferentes de k, concluímos que o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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