Usando integração tripla, calcule o volume do sólido delimitado pelas esferas x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2+z^2=16.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica entre as esferas
x^2+y^2+z^2=4
e
x^2+y^2+z^2=16
O conteúdo principal aqui é usar integração tripla em coordenadas esféricas para calcular volumes de regiões radiais.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi] e thetain[0,2pi].
A região desejada é o “casco” entre as esferas de raio 2 e 4, ou seja
2 <= rho <= 4, 0 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

O elemento de volume em esféricas é
dV = rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta
Logo o volume V é dado por
V = integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi!integralrho=2^4 rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Podemos separar a integral em três produtos:
integralrho=2^4rho^2,drho, integralphi=0^pisinphi,dphi, integraltheta=0^2pidtheta
Calculando cada uma:
integral2^4rho^2,drho = [rho^33]2^4 = 4^3-2^33 = 64-83 = 563,
integral0^pisinphi,dphi = l[-cosphir]0^pi = (-cospi)-(-cos0) = (-(-1))-( -1) = 2,
integral0^2pidtheta = 2pi

Passo 5

Multiplicando tudo:
V = 563;times;2;times;2pi = 563times4pi = 2243,pi

Resposta

V = 2243,pi

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