Mostre que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) x y cos (y)4 x^2+y^2
Dica: Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando (x, y) (0,0) ao longo do eixo x, do eixo y, das retas y=m x, m in R^* (ou y=x, se for suficiente), da parábola y=x^2. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,0) x,ycos(y)4x^2+y^2
não existe. O conteúdo é “limites de funções de duas variáveis” e, para provar que um limite desse tipo não existe, basta encontrar dois caminhos de aproximação que levem a valores diferentes.

Passo 2

Aproximando-se pelo eixo x, temos y=0. Substituindo na função,
f(x,0) =xcdot 0cdot cos(0)4x^2+0 =04x^2 =0
Logo,
limxto 0f(x,0)=0

Passo 3

Aproximando-se pela reta y=x, substituímos y=x em f:
f(x,x) =xcdot xcos(x)4x^2+x^2 =x^2cos(x)5x^2 =cos(x)5
Portanto,
limxto 0f(x,x) =limxto 0cos(x)5 =15

Passo 4

Os limites ao longo do eixo x e da reta y=x são, respectivamente, 0 e tfrac15, que são diferentes. Isso mostra que o valor do limite depende do caminho de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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