Mostre que os limites abaixo não existem.
Dica: Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando
ao longo do eixo
, do eixo
, das retas
(ou
, se for suficiente), da parábola
. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
Dica: Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe. O conteúdo é “limites de funções de duas variáveis” e, para provar que um limite desse tipo não existe, basta encontrar dois caminhos de aproximação que levem a valores diferentes.
Passo 2
Aproximando-se pelo eixo
, temos
. Substituindo na função,
Logo,
Passo 3
Aproximando-se pela reta
, substituímos
em
:
Portanto,
Passo 4
Os limites ao longo do eixo
e da reta
são, respectivamente,
e
, que são diferentes. Isso mostra que o valor do limite depende do caminho de aproximação.
Resposta
O limite não existe.