Sejam F(t)=(t, 1, e^t) e G(t)=i+j+k. Calcule
integral(F(t)+G(t)) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de duas funções vetoriais, F(t) e G(t). Isso faz parte do estudo de cálculo de integrais de vetores. Para resolver isso, vamos integrar cada componente das vetores separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas funções vetoriais:
F(t) + G(t) = ( t, , 1, , e^t ) + ( 1, , 1, , 1 ) = ( t + 1, , 2, , e^t + 1 )

Passo 3

Agora, vamos integrar cada componente dessa nova função vetorial:
  1. Primeira componente ( t + 1):
    A integral de t é 12t^2 e a integral de 1 é t. Então:
integral (t + 1) , dt = 12t^2 + t + C1
  1. Segunda componente ( 2):
    A integral de uma constante 2 é 2t. Então:
integral 2 , dt = 2t + C2
  1. Terceira componente ( e^t + 1):
    A integral de e^t é e^t e a integral de 1 é t. Então:
integral (e^t + 1) , dt = e^t + t + C3

Resposta

A integral de F(t) + G(t) é:
integral (F(t) + G(t)) , dt = ( 12t^2 + t + C1, , 2t + C2, , e^t + t + C3 )

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