Mostre que os limites abaixo não existem.
(a)
((c)
(b)
((d))
(a)
((c)
(b)
((d))
Passo 1
O problema pede para a gente verificar, por meio de diferentes caminhos de aproximação, se o limite de cada função de duas variáveis existe quando
. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar usar o método de comparar o valor do quociente em trajetórias distintas.
Passo 2
Para (a), defina
. Se a gente seguir pelo caminho
, fica
. Já pelo caminho
, dá
. Como 0 é diferente de -2, o limite não existe.
Passo 3
Em (b), tome
. Pelo caminho
,
Passo 4
g(x,mx)=\frac{m2x2\sin2(x)}{x4+m4x4} = \frac{m2\sin2(x)}{x2(1+m4)}\to \frac{m2}{1+m4}\quad(x\to0)
Passo 5
Como isso depende de
, há infinitos valores possíveis, logo o limite não existe.
Passo 6
No item (c), consideramos
. Note que
, então
Passo 7
|h(x,y)|=\frac{|x||y|}{|x|+y^2} \le \frac{|x|,|y|}{|x|} = |y|\to0
Passo 8
para qualquer caminho em que
. Mais ainda, em coordenadas polares (com denominação adaptada), dá sempre zero. Logo o limite existe e vale 0.
Passo 9
Por fim, em (d) defina
. Se
,
. Mas seguindo por
temos
Passo 10
k(y2,y)=\frac{y2\cdot y2\cos(y)}{y4+y^4} = \frac{y4\cos(y)}{2y4} = \frac{\cos(y)}2 \to \tfrac12.
Passo 11
Como 0 é diferente de
, esse limite também não existe.
Resposta
Nos itens (a), (b) e (d) o limite não existe. No item (c) o limite existe e é igual a 0.