Mostre que os limites abaixo não existem.
(a)
lim (x, y) (0,0) x^4-4 y^2x^2+2 y^2
((c) lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2
(b) lim (x, y) (0,0) y^2 sin ^2(x)x^4+y^4
((d)) lim (x, y) (0,0) x y^2 cos (y)x^2+y^4

Passo 1

O problema pede para a gente verificar, por meio de diferentes caminhos de aproximação, se o limite de cada função de duas variáveis existe quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar usar o método de comparar o valor do quociente em trajetórias distintas.

Passo 2

Para (a), defina f(x,y)=x^4-4y^2x^2+2y^2. Se a gente seguir pelo caminho y=0, fica f(x,0)=x^4x^2=x^2to 0. Já pelo caminho x=0, dá f(0,y)=-4y^22y^2=-2. Como 0 é diferente de -2, o limite não existe.

Passo 3

Em (b), tome g(x,y)=y^2sin^2(x)x^4+y^4. Pelo caminho y=mx,

Passo 4

g(x,mx)=\frac{m2x2\sin2(x)}{x4+m4x4} = \frac{m2\sin2(x)}{x2(1+m4)}\to \frac{m2}{1+m4}\quad(x\to0)

Passo 5

Como isso depende de m, há infinitos valores possíveis, logo o limite não existe.

Passo 6

No item (c), consideramos h(x,y)=xyraizx^2+y^2. Note que raizx^2=|x|, então

Passo 7

|h(x,y)|=\frac{|x||y|}{|x|+y^2} \le \frac{|x|,|y|}{|x|} = |y|\to0

Passo 8

para qualquer caminho em que yto0. Mais ainda, em coordenadas polares (com denominação adaptada), dá sempre zero. Logo o limite existe e vale 0.

Passo 9

Por fim, em (d) defina k(x,y)=x y^2cos(y)x^2+y^4. Se y=0, k(x,0)=0. Mas seguindo por x=y^2 temos

Passo 10

k(y2,y)=\frac{y2\cdot y2\cos(y)}{y4+y^4} = \frac{y4\cos(y)}{2y4} = \frac{\cos(y)}2 \to \tfrac12.

Passo 11

Como 0 é diferente de 1/2, esse limite também não existe.

Resposta

Nos itens (a), (b) e (d) o limite não existe. No item (c) o limite existe e é igual a 0.

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