Utilizando as propriedades de limite. Calcule:

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) raizx-1x^2y^2+xy-1
O conteúdo envolvido é usar a propriedade de limite do quociente (quando o denominador tende a não zero) e a continuidade da função raiz quadrada em valores positivos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o argumento da raiz quadrada, que chamaremos de
f(x,y)=x-1x^2y^2+xy-1
Usamos a propriedade de limite do quociente:
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)(x-1)lim(x,y)to(0,0)l(x^2y^2+xy-1r),
desde que o limite do denominador seja diferente de zero.

Passo 3

Calculamos separadamente:
lim(x,y)to(0,0)(x-1)=-1,
lim(x,y)to(0,0)l(x^2y^2+xy-1r)=-1
Portanto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =-1-1=1

Passo 4

Resta aplicar a raiz quadrada. Como, para (x,y) suficientemente próximos de (0,0), temos x-1<0 e x^2y^2+xy-1<0, o quociente f(x,y) é positivo em um vizinhança de (0,0). A função raizcdot é contínua em R^+, logo
lim(x,y)to(0,0) raizf(x,y) =raizlim(x,y)to(0,0)f(x,y) =raiz1=1

Resposta

1

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