Em um solenóide longo com 20 voltas/cm e 5 cm de raio, introduz-se núcleo de cobalto. Quando a corrente elétrica no solenóide é de 1,5 A, o campo magnético total no interior do solenóide é de 0,24 T. Em todas as questões a seguir, justifique os valores apresentados, e apresente seus resultados com unidades.
a) Calcule a intensidade do campo magnético B0 aplicado pelo solenóide (0,5).
b) Calcule a permeabilidade relativa Km do núcleo de cobalto (0,5).
c) Calcule a intensidade da magnetização M(0,5).
d) Calcule a indutância por unidade de comprimento na região central deste solenóide preenchido (1,0).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um solenóide longo com 20 voltas por centímetro e um raio de 5 cm. Quando passamos uma corrente elétrica de 1,5 A nesse solenóide, o campo magnético total no interior dele é de 0,24 T. Além disso, introduzimos um núcleo de cobalto no solenóide. Vamos resolver as quatro partes da questão:
a) Calcular a intensidade do campo magnético B0 aplicado pelo solenóide.
b) Calcular a permeabilidade relativa Km do núcleo de cobalto.
c) Calcular a intensidade da magnetização M.
d) Calcular a indutância por unidade de comprimento na região central deste solenóide preenchido.

Passo 2

Parte a) Calcular a intensidade do campo magnético B0 aplicado pelo solenóide.
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o campo magnético interno de um solenóide sem núcleo:
B0 = mu0 n I
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , T cdot m/A),
  • n é o número de voltas por unidade de comprimento,
  • I é a corrente elétrica.
Dado que o solenóide tem 20 voltas por centímetro, precisamos converter isso para voltas por metro:
n = 20 , vo<as/cm times 100 , cm/m = 2000 , vo<as/m
Agora, substituímos os valores na fórmula:
B0 = 4pi times 10^-7 , T cdot m/A times 2000 , vo<as/m times 1,5 , A
Calculando:
B0 = 4pi times 10^-7 times 2000 times 1,5
B0 = 4pi times 10^-7 times 3000
B0 = 12pi times 10^-4 , T
B0 approx 0,00377 , T

Passo 3

Parte b) Calcular a permeabilidade relativa Km do núcleo de cobalto.
A permeabilidade total B no interior do solenóide com núcleo é dada por:
B = mu0 Km n I
Já sabemos que B = 0,24 , T, e calculamos B0 approx 0,00377 , T. Então, podemos relacionar B e B0 pela permeabilidade relativa:
B = Km B0
Logo:
Km = BB0 = 0,240,00377 approx 63,7

Passo 4

Parte c) Calcular a intensidade da magnetização M.
A relação entre permeabilidade relativa, magnetização e permeabilidade do vácuo é:
B = mu0 (H + M)
Onde H é o campo magnético aplicado pelo solenóide ( B0).
Podemos reescrever a equação como:
B = mu0 H + mu0 M
Sabemos que:
mu0 Km H = mu0 (H + M)
Portanto:
Km H = H + M
M = (Km - 1) H
Calculamos H a partir de B0:
H = B0mu0 = 0,003774pi times 10^-7 approx 2998 , A/m
Agora, substituímos na fórmula da magnetização:
M = (63,7 - 1) times 2998 approx 63,7 times 2998 - 2998 approx 190,897 - 2998 approx 60 , A/m

Passo 5

Parte d) Calcular a indutância por unidade de comprimento na região central deste solenóide preenchido.
A indutância L de um solenóide é dada por:
L = mu N^2 Al
Onde:
  • mu = mu0 Km,
  • N é o número total de voltas,
  • A é a área da seção transversal,
  • l é o comprimento do solenóide.
Como a indutância por unidade de comprimento, temos:
Ll = mu n^2 A
Calculamos A a partir do raio r = 5 , cm = 0,05 , m:
A = pi r^2 = pi (0,05)^2 = 0,00785 , m^2
Substituindo os valores:
Ll = 4pi times 10^-7 times 63,7 times (2000)^2 times 0,00785
Calculando:
Ll = 4pi times 10^-7 times 63,7 times 4 times 10^6 times 0,00785
Ll = 4pi times 10^-7 times 63,7 times 4 times 10^6 times 0,00785
Ll approx 4 times 3,1416 times 10^-7 times 63,7 times 4 times 10^6 times 0,00785
Ll approx 0,0000012566 times 63,7 times 4 times 10^6 times 0,00785
Ll approx 0,0000012566 times 63,7 times 4 times 0,00785 times 10^6
Ll approx 0,0000012566 times 63,7 times 31,4
Ll approx 0,0000012566 times 2001
Ll approx 0,002513 , H/m

Resposta

a) A intensidade do campo magnético aplicado pelo solenóide é aproximadamente 0,00377 , T.
b) A permeabilidade relativa do núcleo de cobalto é aproximadamente 63,7.
c) A intensidade da magnetização é aproximadamente 60 , A/m.
d) A indutância por unidade de comprimento na região central do solenóide preenchido é aproximadamente 0,002513 , H/m.

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