Utilizando as propriedades de limite. Calcule:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(2,-1) x+y-2x^2+y^2
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e, mais especificamente, a utilização da propriedade de continuidade de funções racionais, desde que o denominador não se anule no ponto.

Passo 2

Verificamos o denominador em (2,-1):
x^2+y^2|(2,-1) = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 neq 0
Como o denominador tende a um valor não nulo, a função x+y-2x^2+y^2 é contínua em torno de (2,-1). Logo, podemos aplicar a substituição direta.

Passo 3

Calculamos o numerador em (2,-1):
x+y-2|(2,-1) = 2 + (-1) - 2 = -1

Passo 4

Já o denominador em (2,-1) é
x^2+y^2|(2,-1) = 5

Passo 5

Pela continuidade, o limite é dado pela divisão dos valores obtidos:
lim(x,y)to(2,-1) x+y-2x^2+y^2 = -15

Resposta

-15

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