Verifique que cada uma das seguintes funções é inteira:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa verificar se essa função é inteira.
Matéria envolvida: Estamos lidando com funções complexas e inteiras. Uma função é dita inteira se ela é holomorfa (ou seja, diferenciável) em todo o plano complexo. Para verificar isso, vamos precisar usar conceitos como funções polinomiais, função exponencial complexa, e a propriedade de que o produto de funções inteiras é inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um número complexo que pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a análise:
Aqui, temos duas partes principais: o polinômio
e a parte exponencial
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções exponenciais complexas:
Aplicando essa propriedade, podemos combinar os termos exponenciais:
E já que
, temos:
Passo 5
Substituindo de volta na função
, ficamos com:
Agora, nossa função está expressa como um produto de
e
.
Passo 6
Vamos analisar cada parte:
-
Polinômio
: Polinômios são funções inteiras porque são diferenciáveis em todo o plano complexo. -
Função exponencial
: A função exponencial é uma função inteira, pois também é diferenciável em todo o plano complexo.
Passo 7
Sabendo que tanto
quanto
são funções inteiras, e lembrando que o produto de duas funções inteiras também é uma função inteira, concluímos que:
é uma função inteira.
Resposta
A função
é inteira.