Verifique que cada uma das seguintes funções é inteira:
f(z)=\left(z^{2}-2\right) e^{-x} e^{-i y}.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função f(z) = \left(z^{2} - 2\right) e^{-x} e^{-i y} e precisa verificar se essa função é inteira.
Matéria envolvida: Estamos lidando com funções complexas e inteiras. Uma função é dita inteira se ela é holomorfa (ou seja, diferenciável) em todo o plano complexo. Para verificar isso, vamos precisar usar conceitos como funções polinomiais, função exponencial complexa, e a propriedade de que o produto de funções inteiras é inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que z é um número complexo que pode ser escrito como z = x + i y, onde x e y são números reais, e i é a unidade imaginária.

Passo 3

Vamos reescrever a função f(z) de uma forma que facilite a análise:
f(z) = \left(z^{2} - 2\right) e^{-x} e^{-i y}
Aqui, temos duas partes principais: o polinômio z^{2} - 2 e a parte exponencial e^{-x} e^{-i y}.

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções exponenciais complexas:
e^{a + b} = e^{a} e^{b}
Aplicando essa propriedade, podemos combinar os termos exponenciais:
e^{-x} e^{-i y} = e^{-(x + i y)}
E já que z = x + i y, temos:
e^{-(x + i y)} = e^{-z}

Passo 5

Substituindo de volta na função f(z), ficamos com:
f(z) = \left(z^{2} - 2\right) e^{-z}
Agora, nossa função está expressa como um produto de z^{2} - 2 e e^{-z}.

Passo 6

Vamos analisar cada parte:
  1. Polinômio z^{2} - 2: Polinômios são funções inteiras porque são diferenciáveis em todo o plano complexo.
  2. Função exponencial e^{-z}: A função exponencial é uma função inteira, pois também é diferenciável em todo o plano complexo.

Passo 7

Sabendo que tanto z^{2} - 2 quanto e^{-z} são funções inteiras, e lembrando que o produto de duas funções inteiras também é uma função inteira, concluímos que:
f(z) = \left(z^{2} - 2\right) e^{-z}
é uma função inteira.

Resposta

A função f(z) = \left(z^{2} - 2\right) e^{-x} e^{-i y} é inteira.

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