Mostre
log a b=1log b a

Passo 1

Neste problema vamos mostrar que loga b = 1logb a. O conteúdo envolve definição de logaritmo e sua propriedade de mudança de base. Vamos usar a definição de logaritmo para chegar ao resultado.

Passo 2

Seja x = loga b. Pela definição de logaritmo, isso significa que a^x = b.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo de base b em ambos os lados da equação a^x = b. Assim obtemos:
logb(a^x) = logb(b)
Pela propriedade do logaritmo de expoente, logb(a^x) = x cdot logb a, e sabemos que logb(b) = 1. Logo temos:
x cdot logb a = 1
Isolando x, vem que x = tfrac1logb a.

Passo 4

Como definimos x = loga b, concluímos que loga b = tfrac1logb a, que é justamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

loga b = tfrac1logb a

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