Mostre que log 2 5 é irracional. Isto é, mostre que ele não pode ser escrito na forma pq com p, q in Z.

Passo 1

No enunciado, queremos provar que log2 5 não pode ser escrito como p/q com p,qin Z, ou seja, mostrar a irracionalidade desse logaritmo. Vamos usar o conteúdo de logaritmos, propriedades de potências e o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única).

Passo 2

Suponha, por contradição, que log2 5 seja racional. Então existem inteiros p e q>0, sem fatores comuns, tais que
log2 5 = pq
Convertendo para a forma exponencial, obtemos
2^pq = 5
Elevando ambos os lados à potência q, chegamos a
2^p = 5^q

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental da Aritmética: o lado esquerdo tem fatoração prima contendo apenas o primo 2, enquanto o direito contém apenas o primo 5. Como 2 e 5 são primos distintos, não há como as fatorações coincidir para nenhum par de inteiros p,q, exceto, em tese, o caso trivial 2^0=5^0=1, mas aí q não seria estritamente positivo ou ficaria sem sentido na definição do logaritmo.
Como chegamos a uma contradição ao supor que exista p/q representando log2 5, concluímos que essa fração não existe mesmo, ou seja, log2 5 é irracional.

Resposta

log2 5 é irracional.

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