Mostre que
é irracional. Isto é, mostre que ele não pode ser escrito na forma
.
Passo 1
No enunciado, queremos provar que
não pode ser escrito como
com
, ou seja, mostrar a irracionalidade desse logaritmo. Vamos usar o conteúdo de logaritmos, propriedades de potências e o Teorema Fundamental da Aritmética (fatoração única).
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros
e
, sem fatores comuns, tais que
Convertendo para a forma exponencial, obtemos
Elevando ambos os lados à potência
, chegamos a
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema Fundamental da Aritmética: o lado esquerdo tem fatoração prima contendo apenas o primo 2, enquanto o direito contém apenas o primo 5. Como 2 e 5 são primos distintos, não há como as fatorações coincidir para nenhum par de inteiros
, exceto, em tese, o caso trivial
, mas aí
não seria estritamente positivo ou ficaria sem sentido na definição do logaritmo.
Como chegamos a uma contradição ao supor que exista representando
, concluímos que essa fração não existe mesmo, ou seja,
é irracional.
Como chegamos a uma contradição ao supor que exista