Suponha que b, c, p, q são positivos e que b / c=p / q. Mostre que ln b-ln c=ln p-ln q.

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro números positivos b,c,p,q tais que b/c = p/q e pede para mostrar que ln b - ln c = ln p - ln q. O conteúdo principal aqui é a propriedade do logaritmo natural de quocientes.

Passo 2

A teoria envolvida é que, para quaisquer x>0 e y>0, vale a propriedade
lnl(x/yr)=ln x - ln y
ou seja, o logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos.

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural nos dois lados da igualdade b/c = p/q. Como o logaritmo natural é uma função bem definida e crescente em R^+, podemos fazer:
lnl(b/cr)=lnl(p/qr)

Passo 4

Agora usamos a propriedade do logaritmo de quociente em cada lado da igualdade. No lado esquerdo:
lnl(b/cr)=ln b - ln c
e no lado direito:
lnl(p/qr)=ln p - ln q

Passo 5

Igualando as duas expressões obtemos
ln b - ln c = ln p - ln q
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

ln b - ln c = ln p - ln q

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