Suponha que
são positivos e que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos quatro números positivos
tais que
e pede para mostrar que
. O conteúdo principal aqui é a propriedade do logaritmo natural de quocientes.
Passo 2
A teoria envolvida é que, para quaisquer
e
, vale a propriedade
ou seja, o logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos.
Passo 3
Aplicamos logaritmo natural nos dois lados da igualdade
. Como o logaritmo natural é uma função bem definida e crescente em
, podemos fazer:
Passo 4
Agora usamos a propriedade do logaritmo de quociente em cada lado da igualdade. No lado esquerdo:
e no lado direito:
Passo 5
Igualando as duas expressões obtemos
que é exatamente o que queríamos demonstrar.