Prove que para todos z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} e x, y \in \mathbb{R} vale que:
\operatorname{senh}(z+i \pi)=-\operatorname{senh}(z) e \operatorname{cosh} (z+i \pi)=-\operatorname{cosh} (z).

Passo 1

O enunciado pede para provar, para todo z\in\mathbb{C}, as duas igualdades:
\operatorname{senh}(z+i\pi)=-\operatorname{senh}(z)
e
\operatorname{cosh}(z+i\pi)=-\operatorname{cosh}(z).
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas ou tacitamente aceitas): as definições das funções hiperbólicas em termos da exponencial complexa e propriedades básicas da exponencial complexa (como e^{a+b}=e^{a}e^{b} para a,b\in\mathbb{C}) e a fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 2

Definições que vou usar (explico o que significa cada símbolo):
A definição das funções hiperbólicas, válida também para argumentos complexos, é
\operatorname{senh}(w)=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2}
e
\operatorname{cosh}(w)=\frac{e^{w}+e^{-w}}{2},
onde w é qualquer número complexo. Aqui e^{w} é a exponencial complexa (série de potências ou função complexa usual). Essas fórmulas dizem que para calcular \operatorname{senh} e \operatorname{cosh} basta manipular exponenciais.

Passo 3

Recordando a fórmula de Euler: para todo \theta\in\mathbb{R} vale
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Tomando \theta=\pi obtemos
e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1+0i=-1.
Isso nos dá diretamente e^{i\pi}=-1 e também e^{-i\pi}=-1. Também usamos que para quaisquer a,b\in\mathbb{C} vale e^{a+b}=e^{a}e^{b}. Assim, para qualquer z\in\mathbb{C} temos, usando e^{i\pi}=-1,
e^{z+i\pi}=e^{z}e^{i\pi}=e^{z}(-1)=-e^{z}
e
e^{-(z+i\pi)}=e^{-z-i\pi}=e^{-z}e^{-i\pi}=e^{-z}(-1)=-e^{-z}.

Passo 4

Agora calculo \operatorname{senh}(z+i\pi) substituindo as exponenciais que acabamos de obter na definição de \operatorname{senh}. Pela definição,
\operatorname{senh}(z+i\pi)=\frac{e^{z+i\pi}-e^{-(z+i\pi)}}{2}.
Substituindo e^{z+i\pi}=-e^{z} e e^{-(z+i\pi)}=-e^{-z} obtemos
\operatorname{senh}(z+i\pi)=\frac{-e^{z}-(-e^{-z})}{2}=\frac{-e^{z}+e^{-z}}{2}.
Agora fatoro um menos:
\frac{-e^{z}+e^{-z}}{2}=-\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}=-\operatorname{senh}(z).
Portanto mostramos passo a passo que \operatorname{senh}(z+i\pi)=-\operatorname{senh}(z).

Passo 5

Faço o mesmo para \operatorname{cosh}. Pela definição,
\operatorname{cosh}(z+i\pi)=\frac{e^{z+i\pi}+e^{-(z+i\pi)}}{2}.
Substituindo e^{z+i\pi}=-e^{z} e e^{-(z+i\pi)}=-e^{-z},
\operatorname{cosh}(z+i\pi)=\frac{-e^{z}+(-e^{-z})}{2}=\frac{-(e^{z}+e^{-z})}{2}=-\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}=-\operatorname{cosh}(z).
Então obtemos \operatorname{cosh}(z+i\pi)=-\operatorname{cosh}(z).

Passo 6

Resumo e observação curta para fixar a intuição: ambas as identidades seguem da combinação de três fatos simples: (i) definição de \operatorname{senh} e \operatorname{cosh} por exponenciais, (ii) propriedade multiplicativa da exponencial complexa e^{a+b}=e^{a}e^{b}, e (iii) e^{i\pi}=-1 (fórmula de Euler). Como consequência prática, ao deslocar o argumento por i\pi as funções hiperbólicas trocam de sinal; deslocando por 2i\pi elas retornam ao mesmo valor (periodicidade 2\pi i).

Resposta

\operatorname{senh}(z+i\pi)=-\operatorname{senh}(z)
\operatorname{cosh}(z+i\pi)=-\operatorname{cosh}(z)

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