Prove que para todos
e
vale que:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, para todo
, as duas igualdades:
e
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas ou tacitamente aceitas): as definições das funções hiperbólicas em termos da exponencial complexa e propriedades básicas da exponencial complexa (como
para
) e a fórmula de Euler
Passo 2
Definições que vou usar (explico o que significa cada símbolo):
A definição das funções hiperbólicas, válida também para argumentos complexos, é
A definição das funções hiperbólicas, válida também para argumentos complexos, é
e
onde
é qualquer número complexo. Aqui
é a exponencial complexa (série de potências ou função complexa usual). Essas fórmulas dizem que para calcular
e
basta manipular exponenciais.
Passo 3
Recordando a fórmula de Euler: para todo
vale
Tomando
obtemos
Isso nos dá diretamente
e também
. Também usamos que para quaisquer
vale
. Assim, para qualquer
temos, usando
,
e
Passo 4
Agora calculo
substituindo as exponenciais que acabamos de obter na definição de
. Pela definição,
Substituindo
e
obtemos
Agora fatoro um menos:
Portanto mostramos passo a passo que
.
Passo 5
Faço o mesmo para
. Pela definição,
Substituindo
e
,
Então obtemos
.
Passo 6
Resumo e observação curta para fixar a intuição: ambas as identidades seguem da combinação de três fatos simples: (i) definição de
e
por exponenciais, (ii) propriedade multiplicativa da exponencial complexa
, e (iii)
(fórmula de Euler). Como consequência prática, ao deslocar o argumento por
as funções hiperbólicas trocam de sinal; deslocando por
elas retornam ao mesmo valor (periodicidade
).