Mostre que o menor valor de \psi 1 ( x ) é:
\begin{gathered} \left|\psi_{1}(x)\right|^{2}=A^{*} A\left(1-\frac{2}{3} \cos \left(2 k_{1} x\right)+\frac{1}{9}\right) \\\ \text { Para } x=0 \text { temos, }\left|\psi_{1}(0)\right|^{2}=A^{*} A\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\right)=\frac{4}{9} A^{*} A \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor valor de \bigl|\psi_{1}(x)\bigr|^{2}. O conteúdo envolve cálculo de densidade de probabilidade em mecânica quântica e análise de extrema de função trigonométrica. Vamos usar a expressão já dada para \bigl|\psi_{1}(x)\bigr|^{2} e ver para quais x ela é mínima.

Passo 2

Partimos de
\bigl|\psi_{1}(x)\bigr|^{2} = A^{*}A\Bigl(1 - \tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x) + \tfrac{1}{9}\Bigr)
Aqui A^{*}A é constante e a única dependência em x vem de \cos(2k_{1}x).

Passo 3

Reescrevemos o coeficiente constante:
1 + \tfrac{1}{9} = \tfrac{9}{9} + \tfrac{1}{9} = \tfrac{10}{9},
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\bigl|\psi_{1}(x)\bigr|^{2} = A^{*}A\Bigl(\tfrac{10}{9} - \tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x)\Bigr).

Passo 4

Para achar o mínimo de \tfrac{10}{9} - \tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x) note que \cos(2k_{1}x) varia entre -1 e 1. Como o termo -\tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x) será menor quando \cos(2k_{1}x) for o maior possível, ou seja \cos(2k_{1}x)=1. Logo o mínimo ocorre quando
2k_{1}x = 2\pi n \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{n\pi}{k_{1}},
em particular x=0.

Passo 5

Substituindo \cos(2k_{1}x)=1 em x=0 na expressão original:
\bigl|\psi_{1}(0)\bigr|^{2} = A^{*}A\Bigl(1 - \tfrac{2}{3}\cdot1 + \tfrac{1}{9}\Bigr) = A^{*}A\Bigl(\tfrac{9}{9} - \tfrac{6}{9} + \tfrac{1}{9}\Bigr) = \tfrac{4}{9}\,A^{*}A.

Resposta

O menor valor de \bigl|\psi_{1}(x)\bigr|^{2} é
\frac{4}{9}\,A^{*}A,
ocorrendo para x = \tfrac{n\pi}{k_{1}}, em particular em x=0.

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