O enunciado pede para encontrar o menor valor de \bigl|\psi_{1}(x)\bigr|^{2}. O conteúdo envolve cálculo de densidade de probabilidade em mecânica quântica e análise de extrema de função trigonométrica. Vamos usar a expressão já dada para \bigl|\psi_{1}(x)\bigr|^{2} e ver para quais x ela é mínima.
Para achar o mínimo de \tfrac{10}{9} - \tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x) note que \cos(2k_{1}x) varia entre -1 e 1. Como o termo -\tfrac{2}{3}\cos(2k_{1}x) será menor quando \cos(2k_{1}x) for o maior possível, ou seja \cos(2k_{1}x)=1. Logo o mínimo ocorre quando
2k_{1}x = 2\pi n \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{n\pi}{k_{1}},
em particular x=0.
Passo 5
Substituindo \cos(2k_{1}x)=1 em x=0 na expressão original: