Seja
A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 7 & -6 \\\\ -1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 \end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{C}) .
Dado n \in \mathbb{N}, determine B \in M_{3}(\mathbb{C}) tal que B^{n}=A. Existe uma matriz B \in M_{3}(\mathbb{R}) tal que B^{n}=A ?

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 7 & -6 \\\\ -1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{C})
e pede duas coisas:
  • Para dado n\in\mathbb{N}, determinar todas as matrizes B\in M_3(\mathbb{C}) tais que B^{n}=A.
  • Dizer se existe alguma matriz B\in M_3(\mathbb{R}) com B^{n}=A (e, implicitamente, quando isso ocorre).
As informações relevantes do enunciado que vamos usar são apenas a matriz A e o inteiro natural n.

Passo 2

Estratégia e ideia principal (sem cálculos ainda). A forma mais direta é diagonalizar A se possível: escrever A=PDP^{-1} com D diagonal. Se conseguirmos isso, e se B^{n}=A, escrevendo C=P^{-1}BP temos C^{n}=D. Como D será diagonal com autovalores distintos (se isso ocorrer), C terá de ser diagonal (porque cada espaço próprio de A é de dimensão 1 e é preservado por B), e então C será a diagonal cujas entradas são raízes n-ésimas das entradas de D. Em palavras: as soluções B são exatamente as matrizes B=P\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2,\mu_3)P^{-1} com \mu_i^{n}=\lambda_i, onde \lambda_i são os autovalores de A. Vou executar isso passo a passo, justificando cada afirmação.

Passo 3

Calcular o polinômio característico e autovalores de A. O determinante de A-\lambda I é
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 7 & -6 \\\\ -1 & 4-\lambda & 0 \\\\ 0 & 2 & -2-\lambda \end{pmatrix}.
Calculando (expansão padrão) obtemos
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 +2\lambda^2 +\lambda -2.
Multiplicando por -1 para obter um polinômio monico,
\chi_A(\lambda)=\lambda^3 -2\lambda^2 -\lambda +2.
Verificando raízes inteiras, \lambda=1 é raiz. Fazendo a divisão polinomial,
\chi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+1).
Logo os autovalores (com multiplicidade algébrica) são
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=2,\qquad \lambda_3=-1,
todos distintos.

Passo 4

Conclusão sobre diagonalização. Como os autovalores são distintos, A tem três autovetores linearmente independentes e, portanto, é diagonalizável sobre \mathbb{C} (na verdade sobre \mathbb{R} também, pois os autovalores são reais). Assim existe invertível P real tal que
A=PDP^{-1},\qquad D=\operatorname{diag}(1,2,-1).

Passo 5

Interpretação útil para encontrar raízes n-ésimas: se B^n=A e A=PDP^{-1}, então colocando C=P^{-1}BP obtemos
C^{n}=D.
Vamos estudar essa equação para C. Seja v um autovetor de A associado a \lambda_i. Note que A(Bv)=B^{n}(Bv)=B(B^{n}v)=B(\lambda_i v)=\lambda_i (Bv). Ou seja, Bv é também um vetor próprio de A com autovalor \lambda_i. Como cada espaço próprio de A tem dimensão 1 (autovalores simples), segue que Bv é múltiplo escalar de v. Portanto cada autovetor de A é também autovetor de B. Com isso A e B são simultaneamente triangularizáveis e, mais fortemente, simultaneamente diagonalizáveis na mesma base de autovetores; em termos práticos, em P-base temos C diagonal. Assim C=\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2,\mu_3) para algum \mu_i\in\mathbb{C} e a igualdade C^{n}=D força
\mu_1^{n}=1,\qquad \mu_2^{n}=2,\qquad \mu_3^{n}=-1.

Passo 6

Contagem e descrição completa das soluções complexas. Cada equação \mu_i^{n}=\lambda_i tem exatamente n soluções complexas distintas (as n-ésimas raízes complexas de \lambda_i), porque \lambda_i\neq 0. Logo há n escolhas independentes para cada \mu_i, e o número total de soluções B\in M_3(\mathbb{C}) é n^3. Explicitamente, se P é a matriz invertível cujas colunas são três autovetores de A (cada coluna um autovetor associado, respectivamente, a 1,2,-1), então todas as soluções são
B = P\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2,\mu_3)P^{-1}, \qquad\text{onde}\quad \mu_1^{n}=1,\\ \mu_2^{n}=2,\\ \mu_3^{n}=-1.
Cada escolha de uma raiz \mu_i para cada autovalor dá uma solução distinta.

Passo 7

Vou calcular autovetores reais de A (úteis para escrever um P explícito e para analisar existência de raízes reais). Resolvendo (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda:
  • Para \lambda=1: resolver (A-I)v=0 dá, por exemplo, o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}9\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix}.
  • Para \lambda=2: resolver (A-2I)v=0 dá, por exemplo,
v_2=\begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Para \lambda=-1: resolver (A+I)v=0 dá, por exemplo,
v_3=\begin{pmatrix}5\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Tomando
P=\begin{pmatrix}9 & 4 & 5\\[2pt]3 & 2 & 1\\[2pt]2 & 1 & 2\end{pmatrix},
temos A=P\operatorname{diag}(1,2,-1)P^{-1}. Observação: P é real e invertível (os vetores são linearmente independentes).]

Passo 8

Condição para existência de soluções reais. Para existir B\in M_3(\mathbb{R}) com B^{n}=A é necessário e suficiente que possamos escolher \mu_1,\mu_2,\mu_3\in\mathbb{R} tais que \mu_1^{n}=1,\\ \mu_2^{n}=2,\\ \mu_3^{n}=-1. Analisando cada uma:
  • A equação \mu_2^{n}=2 tem exatamente uma solução real, \mu_2=2^{1/n}>0, para qualquer n\in\mathbb{N}.
  • A equação \mu_1^{n}=1 tem solução(s) reais: se n é ímpar, a única solução real é \mu_1=1; se n é par, as soluções reais são \mu_1=1 e \mu_1=-1.
  • A equação \mu_3^{n}=-1 tem solução real se e somente se n é ímpar; nesse caso a única solução real é \mu_3=-1. Se n é par não existe \mu_3\in\mathbb{R} com \mu_3^{n}=-1.
Portanto é possível escolher todas as três \mu_i reais simultaneamente se, e somente se, n for ímpar. Para n ímpar podemos escolher
\mu_1=1,\qquad \mu_2=2^{1/n},\qquad \mu_3=-1,
e então
B = P\operatorname{diag}\bigl(1,\,2^{1/n},\,-1\bigr)P^{-1}
é uma solução real de B^{n}=A. Se n for par, não existe solução real porque não há raiz real de -1 de ordem par.

Passo 9

Resumo da construção prática (como montar B na prova): 1) calcule autovalores \lambda_i e autovetores v_i e forme P com colunas v_i; 2) escolha para cada \lambda_i alguma raiz n-ésima \mu_i (complexa); 3) defina B=P\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2,\mu_3)P^{-1}. Isso garante B^n=A. Para restrição a \mathbb{R}, escolha raízes reais quando possível — como vimos, isso só é possível para todas as três entradas quando n é ímpar.

Resposta

Todas as soluções em M_3(\mathbb{C}) são
B = P\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2,\mu_3)P^{-1},
onde P é qualquer matriz invertível cujas colunas sejam autovetores de A associados, respectivamente, a 1,2,-1, e onde \mu_1^{n}=1,\\ \mu_2^{n}=2,\\ \mu_3^{n}=-1. Há n^3 escolhas distintas de B (cada \mu_i pode ser escolhida entre as n raízes n-ésimas de \lambda_i).
Existe B\in M_3(\mathbb{R}) com B^{n}=A se, e somente se, n for ímpar; nesse caso um exemplo é
B = P\operatorname{diag}\bigl(1,\,2^{1/n},\,-1\bigr)P^{-1},
com P real formado pelos autovetores indicados no passo 7.

Exercícios relacionados