Mostre que \mathcal{R} é uma relação de ordem em \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede: "Mostre que \mathcal{R} é uma relação de ordem em \mathbb{N}".
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma sobre como é a relação \mathcal{R} — o enunciado não definiu \mathcal{R} (por exemplo, não disse se \mathcal{R} é a relação \le, ou a relação “divide” ou outra qualquer).

Passo 2

Como a relação \mathcal{R} não foi definida no enunciado, não é possível provar especificamente que “essa” relação é uma relação de ordem. Para provar algo concreto precisamos da definição de \mathcal{R}. Vou explicar por etapas o que significaria mostrar que uma relação em \mathbb{N} é uma relação de ordem e dar modelos de prova completos para relações comuns — assim você aprende a técnica e sabe aplicar ao \mathcal{R} concreto que seu professor quis (quando você me informar qual é).

Passo 3

O que é preciso verificar (passos gerais que valem para qualquer relação declarada): para mostrar que uma relação \mathcal{R} em \mathbb{N} é uma relação de ordem (ordem parcial), precisa-se demonstrar três propriedades:
  1. Reflexividade: provar que, para todo x\in\mathbb{N}, (x,x)\in\mathcal{R}. Em linguagem de quantificadores: \forall x\in\mathbb{N},\;(x,x)\in\mathcal{R}. Isso significa que todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Antissimetria: provar que, para quaisquer a,b\in\mathbb{N}, se (a,b)\in\mathcal{R} e (b,a)\in\mathcal{R} então a=b. Em quantificadores: \forall a,b\in\mathbb{N},\;[(a,b)\in\mathcal{R}\wedge (b,a)\in\mathcal{R}]\Rightarrow a=b. Isso impede “ciclos” diferentes entre dois elementos.
  3. Transitividade: provar que, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{N}, se (a,b)\in\mathcal{R} e (b,c)\in\mathcal{R} então (a,c)\in\mathcal{R}. Em quantificadores: \forall a,b,c\in\mathbb{N},\;[(a,b)\in\mathcal{R}\wedge (b,c)\in\mathcal{R}]\Rightarrow (a,c)\in\mathcal{R}.
Essas três propriedades juntas definem uma ordem parcial. Se a relação ainda satisfaz que para quaisquer a,b\in\mathbb{N} sempre vale ou (a,b)\in\mathcal{R} ou (b,a)\in\mathcal{R} (ou ambos), então é uma ordem total (ou linear). Mas primeiro verifique as três propriedades acima.

Passo 4

Como provar cada propriedade em uma prova formal (esqueleto que você pode usar na prova):
Reflexividade — técnica:
  • Comece “Seja x\in\mathbb{N} arbitrário.”
  • Mostre, a partir da definição de \mathcal{R}, que (x,x)\in\mathcal{R}.
  • Termina: “Assim, \forall x\in\mathbb{N},\;(x,x)\in\mathcal{R}.”
Antissimetria — técnica:
  • Comece “Sejam a,b\in\mathbb{N} tais que (a,b)\in\mathcal{R} e (b,a)\in\mathcal{R}.”
  • Usando a definição de \mathcal{R}, derive consequências sobre a e b que forçam a=b.
  • Conclua: “Logo, se (a,b)\in\mathcal{R} e (b,a)\in\mathcal{R} então a=b.”
Transitividade — técnica:
  • Comece “Sejam a,b,c\in\mathbb{N} tais que (a,b)\in\mathcal{R} e (b,c)\in\mathcal{R}.”
  • A partir das hipóteses e da definição de \mathcal{R}, mostre que (a,c)\in\mathcal{R}.
  • Conclua a propriedade.
Dica prática: sempre pegue elementos arbitrários e trabalhe com as hipóteses para deduzir o que você precisa; escreva claramente onde usa a definição de \mathcal{R}.

Passo 5

Vou ilustrar com duas relações concretas em \mathbb{N} (para você ver a técnica aplicando passo a passo). Assumo aqui \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (se no seu curso \mathbb{N} começa em 1, o raciocínio é análogo, ajustando a parte onde usamos o 0).
Exemplo A: relação \le (menor ou igual).
  • Reflexividade: seja n\in\mathbb{N}. Claramente n\le n. Portanto \forall n\in\mathbb{N},\;(n,n)\in\le.
  • Antissimetria: sejam a,b\in\mathbb{N} com a\le b e b\le a. Pela definição de \le em naturais existe k\in\mathbb{N} tal que b=a+k e existe l\in\mathbb{N} tal que a=b+l. Substituindo a segunda na primeira: a = a+k+l. Isso implica k+l=0. Como k,l\in\mathbb{N} e só 0 soma com outro inteiro não negativo para dar 0, segue k=0 e l=0. Portanto b=a. Assim a antissimetria vale.
  • Transitividade: se a\le b e b\le c, existem k,l\in\mathbb{N} tais que b=a+k e c=b+l. Então c=a+(k+l) e k+l\in\mathbb{N}, logo a\le c. Assim \le é transitiva.
    Logo \le é uma relação de ordem (na verdade, ordem total).
Exemplo B: relação de divisibilidade | (ou seja, a\,|\,b significa “a divide b”, existe k\in\mathbb{N} com b=ak).
  • Reflexividade: para todo n\in\mathbb{N} existe k=1 tal que n = n\cdot 1. Logo n\,|\,n.
  • Antissimetria: sejam a,b>0 em \mathbb{N} tais que a\,|\,b e b\,|\,a. Então existem k,l\in\mathbb{N} com b=ak e a=bl. Substituindo: a = a(kl). Pela cancelação (ou reescrevendo a(kl-1)=0 e como a>0 segue kl-1=0 ), obtemos kl=1. Como k,l\in\mathbb{N} e k,l\ge1, isso força k=l=1, e assim a=b. Logo antissimetria vale (observe que precisamos considerar números positivos para evitar o zero, pois 0 tem comportamento especial).
  • Transitividade: se a\,|\,b e b\,|\,c, então b=ak e c=bl para alguns k,l\in\mathbb{N}; assim c=a(kl) e portanto a\,|\,c.
    Logo | é uma relação de ordem parcial (não total, pois dois números diferentes podem não dividir um ao outro).

Passo 6

Resumo prático para a prova (checklist rápido que você pode decorar):
  1. Escreva a definição de \mathcal{R} claramente.
  2. Para reflexividade: pegue elemento arbitrário e prove (x,x)\in\mathcal{R}.
  3. Para antissimetria: suponha (a,b)\in\mathcal{R} e (b,a)\in\mathcal{R}; mostre a=b. Use desigualdades, existência de fatores, cancelamento, ou argumento por contradição conforme a definição de \mathcal{R}.
  4. Para transitividade: suponha (a,b)\in\mathcal{R} e (b,c)\in\mathcal{R}; combine as definições para deduzir (a,c)\in\mathcal{R}.
  5. Se for pedido ordem total, prove ainda que para quaisquer a,b vale (a,b)\in\mathcal{R} ou (b,a)\in\mathcal{R}.

Passo 7

Conclusão específica do seu enunciado: sem a definição de \mathcal{R} não há como produzir uma prova concreta. Se você me mandar a definição explícita de \mathcal{R} (por exemplo, “ \mathcal{R}=\{(a,b)\in\mathbb{N}^2\mid a\le b\}” ou " \mathcal{R}=\{(a,b)\mid a divide b\}" ou outra), eu escrevo a prova passo a passo no mesmo estilo didático que você pediu.

Resposta

Não é possível: a relação \mathcal{R} não foi definida no enunciado, portanto não há como provar especificamente que ela é uma relação de ordem.

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