Mostre que
é uma relação de ordem em
.
Passo 1
O enunciado pede: "Mostre que
é uma relação de ordem em
".
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma sobre como é a relação — o enunciado não definiu
(por exemplo, não disse se
é a relação
, ou a relação “divide” ou outra qualquer).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma sobre como é a relação
Passo 2
Como a relação
não foi definida no enunciado, não é possível provar especificamente que “essa” relação é uma relação de ordem. Para provar algo concreto precisamos da definição de
. Vou explicar por etapas o que significaria mostrar que uma relação em
é uma relação de ordem e dar modelos de prova completos para relações comuns — assim você aprende a técnica e sabe aplicar ao
concreto que seu professor quis (quando você me informar qual é).
Passo 3
O que é preciso verificar (passos gerais que valem para qualquer relação declarada): para mostrar que uma relação
em
é uma relação de ordem (ordem parcial), precisa-se demonstrar três propriedades:
-
Reflexividade: provar que, para todo
, . Em linguagem de quantificadores: . Isso significa que todo elemento está relacionado consigo mesmo. -
Antissimetria: provar que, para quaisquer
, se e então . Em quantificadores: . Isso impede “ciclos” diferentes entre dois elementos. -
Transitividade: provar que, para quaisquer
, se e então . Em quantificadores: .
Essas três propriedades juntas definem uma ordem parcial. Se a relação ainda satisfaz que para quaisquer
sempre vale ou
ou
(ou ambos), então é uma ordem total (ou linear). Mas primeiro verifique as três propriedades acima.
Passo 4
Como provar cada propriedade em uma prova formal (esqueleto que você pode usar na prova):
Reflexividade — técnica:
- Comece “Seja
arbitrário.” - Mostre, a partir da definição de
, que . - Termina: “Assim,
.”
Antissimetria — técnica:
- Comece “Sejam
tais que e .” - Usando a definição de
, derive consequências sobre e que forçam . - Conclua: “Logo, se
e então .”
Transitividade — técnica:
- Comece “Sejam
tais que e .” - A partir das hipóteses e da definição de
, mostre que . - Conclua a propriedade.
Dica prática: sempre pegue elementos arbitrários e trabalhe com as hipóteses para deduzir o que você precisa; escreva claramente onde usa a definição de
.
Passo 5
Vou ilustrar com duas relações concretas em
(para você ver a técnica aplicando passo a passo). Assumo aqui
(se no seu curso
começa em
, o raciocínio é análogo, ajustando a parte onde usamos o
).
Exemplo A: relação
(menor ou igual).
- Reflexividade: seja
. Claramente . Portanto . - Antissimetria: sejam
com e . Pela definição de em naturais existe tal que e existe tal que . Substituindo a segunda na primeira: . Isso implica . Como e só soma com outro inteiro não negativo para dar , segue e . Portanto . Assim a antissimetria vale. - Transitividade: se
e , existem tais que e . Então e , logo . Assim é transitiva.
Logoé uma relação de ordem (na verdade, ordem total).
Exemplo B: relação de divisibilidade
(ou seja,
significa “a divide b”, existe
com
).
- Reflexividade: para todo
existe tal que . Logo . - Antissimetria: sejam
em tais que e . Então existem com e . Substituindo: . Pela cancelação (ou reescrevendo e como segue ), obtemos . Como e , isso força , e assim . Logo antissimetria vale (observe que precisamos considerar números positivos para evitar o zero, pois tem comportamento especial). - Transitividade: se
e , então e para alguns ; assim e portanto .
Logoé uma relação de ordem parcial (não total, pois dois números diferentes podem não dividir um ao outro).
Passo 6
Resumo prático para a prova (checklist rápido que você pode decorar):
- Escreva a definição de
claramente. - Para reflexividade: pegue elemento arbitrário e prove
. - Para antissimetria: suponha
e ; mostre . Use desigualdades, existência de fatores, cancelamento, ou argumento por contradição conforme a definição de . - Para transitividade: suponha
e ; combine as definições para deduzir . - Se for pedido ordem total, prove ainda que para quaisquer
vale ou .
Passo 7
Conclusão específica do seu enunciado: sem a definição de
não há como produzir uma prova concreta. Se você me mandar a definição explícita de
(por exemplo, “
” ou "
divide
" ou outra), eu escrevo a prova passo a passo no mesmo estilo didático que você pediu.
Resposta
Não é possível: a relação
não foi definida no enunciado, portanto não há como provar especificamente que ela é uma relação de ordem.