Para
e
, mostre que
então
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Dados
com . Aqui vou entender como os naturais estritamente positivos, ou seja . - Hipótese:
. - O que pedir mostrar: que
.
Resumo conciso do que temos: multiplicação pelos naturais e uma desigualdade entre
e
; precisamos traduzir isso em uma desigualdade entre
e
.
Passo 2
Ideia-chave (explicada passo a passo, sem pular etapas):
Multiplicar por um número natural positivo preserva a ordem: se então
quando
. Aqui queremos a contrapartida: a partir de
deduzir algo sobre
e
. A forma mais segura é fazer uma prova por contradição: supor que
e mostrar que isso contradiz
. Vou explicar por que essa contradição aparece de forma elementar.
Multiplicar por um número natural positivo preserva a ordem: se
Passo 3
Prova por contradição: suponha, para absurdo, que
.
Como e
são naturais, a diferença
é um natural não nulo, ou seja existe
tal que
Como
Isso porque entre naturais se
então
; escrevemos explicitamente
para ficar claro.
Passo 4
Multiplicamos a identidade
por
(isto é permitido, multiplicação bem definida em
):
Pelo distributivo da multiplicação sobre a adição (propriedade básica dos números naturais),
Portanto
Passo 5
Agora usamos que
e
, então
, ou seja
. Em particular
. Assim
Logo obtivemos
.
Passo 6
Mas isso contradiz a hipótese
. Portanto a suposição
é impossível. Como as únicas possibilidades entre naturais são
,
ou
, e descartamos
, fica que
.
Além disso, observe que
também fica impossibilitado pela hipótese
(pois se
então
), então da hipótese segue na realidade a forma estrita
Mas o que o enunciado pedia era
, e isso já está comprovado.