Mostre que:
\mathrm{EA}_{x y} \approx \bar{x} \mathrm{EA}_{y}+\bar{y} \mathrm{EA}_{x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao multiplicar duas grandezas medidas x e y, cujo valor médio seja \bar x e \bar y e erros absolutos esperados sejam \mathrm{EA}_{x} e \mathrm{EA}_{y}, o erro absoluto esperado do produto xy satisfaz aproximadamente
\mathrm{EA}_{xy}\approx \bar x\,\mathrm{EA}_{y}+\bar y\,\mathrm{EA}_{x}.
O conteúdo envolvido é propagação de erros usando aproximação linear (derivadas parciais).

Passo 2

Considere a função
f(x,y)=x\,y.
Pela regra de propagação de erros via expansão de Taylor em primeira ordem, a variação \Delta f satisfaz
\Delta f\approx \frac{\partial f}{\partial x}\,\Delta x \;+\;\frac{\partial f}{\partial y}\,\Delta y,
onde \Delta x e \Delta y são as incertezas (erros) em x e em y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x.
Logo
\Delta f\approx y\,\Delta x + x\,\Delta y.

Passo 4

Tomando \Delta x=\mathrm{EA}_{x}, \Delta y=\mathrm{EA}_{y} e avaliando em torno dos valores médios \bar x e \bar y, obtemos
\mathrm{EA}_{xy}\approx \bar y\,\mathrm{EA}_{x}+\bar x\,\mathrm{EA}_{y}.
Se x e y forem positivas, podemos trocar termos de ordem sem problema de sinal, ficando
\mathrm{EA}_{xy}\approx \bar x\,\mathrm{EA}_{y}+\bar y\,\mathrm{EA}_{x}.

Resposta

\mathrm{EA}_{xy}\approx \bar x\,\mathrm{EA}_{y}+\bar y\,\mathrm{EA}_{x}

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