Mostre que:
\mathrm{EA}_{x / y} \approx \frac{\bar{x} \mathrm{EA}_{y}-\bar{y} \mathrm{EA}_{x}}{\bar{y}^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estimar o erro absoluto de uma razão z = x/y, dados valores aproximados \bar{x}, \bar{y} e seus erros absolutos \mathrm{EA}_{x} e \mathrm{EA}_{y}. O conteúdo é propagação de erros usando a aproximação linear (diferencial).

Passo 2

Definimos a função
f(x,y) = \frac{x}{y}.
Para pequenas variações dx e dy em torno de (\bar{x},\bar{y}), a variação de f é dada pelo diferencial total
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx \;+\;\frac{\partial f}{\partial y}\,dy.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -\,\frac{x}{y^{2}}.

Passo 4

Substituindo em df e avaliando em (\bar{x},\bar{y}) obtemos
df = \frac{1}{\bar{y}}\,dx \;-\;\frac{\bar{x}}{\bar{y}^{2}}\,dy.
Como estamos interessados no erro absoluto de z = x/y, escrevemos dx = \mathrm{EA}_{x} e dy = \mathrm{EA}_{y}. Assim,
\mathrm{EA}_{x/y} \approx df = \frac{1}{\bar{y}}\,\mathrm{EA}_{x} \;-\;\frac{\bar{x}}{\bar{y}^{2}}\,\mathrm{EA}_{y}.

Passo 5

Para colocar em um único quociente, multiplicamos o primeiro termo por \bar{y}/\bar{y}:
\frac{1}{\bar{y}}\,\mathrm{EA}_{x} = \frac{\bar{y}\,\mathrm{EA}_{x}}{\bar{y}^{2}},
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\mathrm{EA}_{x/y} \approx \frac{\bar{y}\,\mathrm{EA}_{x} - \bar{x}\,\mathrm{EA}_{y}}{\bar{y}^{2}} = \frac{\bar{x}\,\mathrm{EA}_{y} - \bar{y}\,\mathrm{EA}_{x}}{\bar{y}^{2}} \quad\text{(troca de sinal no numerador).}

Resposta

\mathrm{EA}_{x / y} \approx \frac{\bar{x}\,\mathrm{EA}_{y} - \bar{y}\,\mathrm{EA}_{x}}{\bar{y}^{2}}.

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