Mostre que se uma matriz é não singular, então o sistema homogêneo tem somente a solução trivial.
Passo 1
A questão pede para mostrar que, se uma matriz quadrada Antimes n é não singular (ou seja, invertível), então o sistema homogêneo Ax=0 só admite a solução trivial x=0. Vamos usar conceitos de matriz inversa e associatividade para provar isso.
Passo 2
Por definição, dizer que A é não singular significa que existe uma matriz inversa A^-1ntimes n tal que
A^-1A = AA^-1 = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n. Esse fato também está ligado a det(A) neq 0 e ao posto máximo rank(A)=n.
Passo 3
Considere o sistema homogêneo:
Ax1 x2 vdots xn=00 vdots0
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pela matriz inversa A^-1, usando a associatividade de multiplicação de matrizes, temos:
A^-1l(Ax1 x2 vdots xnr)=A^-100 vdots0
Passo 5
O lado esquerdo simplifica para Inx=x e o lado direito é o vetor nulo, logo:
x1 x2 vdots xn=00 vdots0
Passo 6
Isso mostra que a única solução do sistema homogêneo é o vetor trivial.
Resposta
O sistema homogêneo só admite a solução trivial x1=x2=cdots=xn=0.