1. Para o sistema linear a seguir
cc x1+2 x2+3 x3 & =5 2 x1+5 x2+3 x3 & =3 x1+8 x3 & =17
determine a matriz A, tal que sua solução seja expressa por
(l x1 x2 x3 )=A(c 5 3 17 )
Qual é a relação da matriz A com a matriz
B=(lll 1 & 2 & 3 2 & 5 & 3 1 & 0 & 8 ) ?

Passo 1

Temos o sistema linear
x1+2x2+3x3=5, 2x1+5x2+3x3=3, x1+0cdot x2+8x3=17
O conteúdo é resolução de sistemas por inversão de matrizes: vamos precisar da matriz dos coeficientes B e do vetor de termos independentes b.

Passo 2

A solução de um sistema Bx=b se escreve como
x = B^-1b
Logo, a matriz A pedida, que satisfaz x = A b, é exatamente A = B^-1.

Passo 3

Para achar B^-1 usamos a fórmula
B^-1 = 1det(B)adj(B)
Primeiro, calculamos o determinante de
B=1&2&32&5&31&0&8
Usando cofactores, obtemos
det(B)=1cdot(5cdot8-3cdot0)-2cdot(2cdot8-3cdot1)+3cdot(2cdot0-5cdot1)=-1 .

Passo 4

Em seguida, montamos a matriz de cofactores C e a adjunta (transposta de C):
C=40&-13&-5-16&5&2-9&3&1, adj(B)=C^T=40&-16&-9-13&5&3-5&2&1
Logo,
B^-1=1-140&-16&-9-13&5&3-5&2&1= -40&16&913&-5&-35&-2&-1

Passo 5

Portanto, a matriz A que expressa a solução é
A=-40&16&913&-5&-35&-2&-1
e ela é exatamente a inversa de B.

Resposta

A = -40 & 16 & 913 & -5 & -35 & -2 & -1,\quadou seja,A = B^{-1}.

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