1. Mostre que se um sistema
A(c x1 x2 vdots xn )=b(c x1 x2 vdots xn )
tem apenas a solução trivial, onde A é uma matriz n times n e b é uma constante, então a matriz B=A-I b tem inversa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se o sistema
Ax1x2vdotsxn=bx1x2vdotsxn
tem só a solução trivial, então a matriz
B=A - bI
é invertível (ou seja, tem inversa). O conteúdo aqui é teoria de autovalores e invertibilidade de matrizes, e vamos precisar da noção de núcleo de matriz.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que B não seja invertível. A definição de matriz não invertível diz que existe um vetor não nulo xneq0 tal que
B x = 0
Mas escrevendo B = A - bI isso vira
(A - bI)x = 0 Longrightarrow A x = b x
e isso significa que o sistema original tem uma solução não trivial, pois xneq0.

Passo 3

Isso contradiz a hipótese de que o sistema só tem solução trivial. Logo, nossa suposição foi errada e B não pode ser não invertível. Ou seja, B é invertível e, portanto, possui inversa.

Resposta

A matriz B=A-bI é invertível e tem inversa.

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